Utilisateur:Yapper

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L'essentiel du cours de Mathématiques de Math SUP


Sommaire

Logique et Ensembles[modifier | modifier le wikicode]

En pratique, on écrit pour dire "si est vraie alors est vraie (et si est fausse alors est fausse).


Pour déterminer , on résout parfois en utilisant la caractérisation suivante

Si est bijective de dans alors et .

Si est bijective de dans et de dans alors :

La condition suffisante implique le résultat () alors que le résultat implique la condition nécessaire .


Récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Soit , une propriété définie sur et la proposition : "La propriété est vraie au rang ".

Rédaction type: Montrons par récurrence que pour tout entier , .

  1. Initialisation : en effet ...
  2. Hérédité : Soit . Supposons . On veut c'est-à-dire ...

Sommes & Produits[modifier | modifier le wikicode]

Définition : Somme simple[modifier | modifier le wikicode]

Cette expression se lit : "sigma des de à " ou "somme des pour variant de à ".

Définition : Produit simple[modifier | modifier le wikicode]

Cette expression se lit : "i des de à " ou "produit des pour variant de à ".


Produits ...[modifier | modifier le wikicode]

Sommes doubles[modifier | modifier le wikicode]

Nombres complexe et Trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

Complexe de module 1[modifier | modifier le wikicode]

Exponentielle complexe[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

On définit l'exponentielle d'un nombre complexe par :

Si est un nombre complexe non nul de module et d'argument , on peut écrire

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

L'intérêt de cette notation produit des propriétés de l'exponentielle complexe.

Propriétés usuelles du module et de l'argument[modifier | modifier le wikicode]

Déf : Conjugué

Module

  • ,
  • et
  • L'inégalité triangulaire : (pas comme dans ...)

Équation du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Racines ièmes de l'unité[modifier | modifier le wikicode]

Racines nièmes d'un complexe[modifier | modifier le wikicode]

Limites, continuité et comparaison des fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie sur un ensemble , à valeurs réelles.

tend vers quand tend vers (que l’on note ou bien ou encore ) signifie :

  • si
  • si
  • si

En fr, quel que soit (fixée, aussi petit que l’on veut) il existe (qui dépend de ) tel que pour tout réel , si est assez proche de alors est à une distance inférieure à de .

Remarque :


Intégrales[modifier | modifier le wikicode]

Règles de Bioche[modifier | modifier le wikicode]

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu’il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, est une expression rationnelle en et , c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de , , des nombres réels et les quatre opérations  ; on peut encore écrire , où et sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer ,

on forme l'intégrande : . Ensuite,

  • Si , un changement de variable judicieux est .
  • Si , un changement de variable judicieux est .
  • Si , un changement de variable judicieux est .
  • Si 2 des 3 relations précédentes sont vraies (dans ce cas les 3 relations sont vraies), un changement de variable judicieux est .
  • Dans les autres cas, le changement de variable s'avère souvent judicieux. On se réferera à ce sujet à l’article sur les formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié

Ces règles ne constituent pas un véritable théorème, mais elles conduisent souvent au bon résultat et permettent le cas échéant de simplifier les calculs. Elles ne sont utilisables dans la plupart des cas que lorsque comporte des fonctions trigonométriques. Dans le cas où est une fraction rationnelle en sinus et cosinus les règles de Bioche permettent toujours de se ramener à une primitive de fraction rationnelle qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.


Sommes et Produits[modifier | modifier le wikicode]

Généralités sur les Sommes simples[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

L'indice de sommation est virtuel. Le résultat ne dépend pas de

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Relation de Chasles[modifier | modifier le wikicode]

Combinaison linéaire d'une somme[modifier | modifier le wikicode]

Évidence[modifier | modifier le wikicode]

Quelques classiques[modifier | modifier le wikicode]

Somme[modifier | modifier le wikicode]
  • On détermine () en développant : de deux façons différentes : avec les dominos et en développant les puissances.
Produit[modifier | modifier le wikicode]
  • (produit des nombres pairs)
  • (produit des nombres pairs)
Exponentielle et Logarithme : lien Somme-Produit[modifier | modifier le wikicode]


Les dominos (multiplicatifs)[modifier | modifier le wikicode]




Réindexation ou Changement d'indice[modifier | modifier le wikicode]

On peut réindexer la somme ou le produit en posant :

  • (où est un entier relatif quelconque) : on translate les indices
  •  : on somme/multiplie dans l’ordre inverse

Il faut changer les bornes (qui doivent êtres croissantes) et éliminer .

Disjonction pair/impair[modifier | modifier le wikicode]

Méthodes pour calculer une somme[modifier | modifier le wikicode]

Il y a exactement trois méthodes pour calculer une somme :

  1. Le binôme
  2. Les dominos ou le téléscope
  3. Les suites géométriques

La disjonction pair/impair n’est pas une méthode de calcul !


Le binôme[modifier | modifier le wikicode]

On utilise cette méthode ssi il y a des coefficients du binôme. On cherche à utiliser l'égalité

Rappels :

on met sur l’objet le + compliqué

Le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne et à la colonne () est placé le coefficient binomial .

Les dominos (ou le téléscope)[modifier | modifier le wikicode]

On utilise cette méthode ssi on a une différence. On cherche à utiliser

On peut faire une cascade ou utiliser la séquence classique sur les sommes (Dispatching, Réindexation puis Concaténation).

Les suites géométriques[modifier | modifier le wikicode]

On utilise cette méthode dans tous les autres cas. On cherche à utiliser

On vise donc (avec qui ne dépend pas de ).

Sommes doubles[modifier | modifier le wikicode]






Inégalités et égalités[modifier | modifier le wikicode]

Comment établir des inégalités (et des égalités) ?

Méthode Directe[modifier | modifier le wikicode]

Majorations/minorations grossières[modifier | modifier le wikicode]

On a le théorème suivant :

  • Pour majorer (respectivement minorer) , on majore (respectivement minore) et on majore (respectivement minore) .
  • Pour majorer (respectivement minorer) , on majore (respectivement minore) et on minore (respectivement majore) .
  • Pour majorer (respectivement minorer) , on majore et on minore .

Ainsi, si on a un encadrement de , on peut en déduire un encadrement d'une expression en fonction de .

Si on a des valeurs absolues, on s'en débarrasse pour pouvoir appliquer les règles énoncées ci-dessus.

Méthode de la quantité conjuguée


Paradigme[modifier | modifier le wikicode]

On veut montrer . On fait :

  • si on peut faire des calculs sur ,
  • si on peut faire des calculs sur ,
  • .

Champs d'application[modifier | modifier le wikicode]

Le mixte ne peut pas se faire de façon directe !

Les inégalités autour des monômes se font généralement directement.

Méthode Transmission[modifier | modifier le wikicode]

Champs d'application[modifier | modifier le wikicode]

La méthode transmission nécessite d’utiliser une autre question (généralement la précédente).

Transmission classique[modifier | modifier le wikicode]

On part (exceptionnellement) de l'hypothèse.

On fait des calculs pour aboutir à la conclusion avec des implications en les justifiant (car les équivalences sont inutiles ici et difficiles à justifier).

Changement de variable[modifier | modifier le wikicode]

On applique l'inégalité (ou l'encadrement) précédent(e) avec ..., ainsi

Méthode Intégrale[modifier | modifier le wikicode]

Paradigme[modifier | modifier le wikicode]

  1. On écrit (ou bien parfois ).
  2. On se débarrasse sur , par majoration grossièrement mais pas débile de .
  3. On intègre l'inégalité (ou l'encadrement) sur .

Champs d'application[modifier | modifier le wikicode]

Si on voit des différences, notamment de mixtes simples.

Les inégalités strictes ne peuvent pas se faire avec cette méthode (à moins de justifier) car en intégrant elles deviennent larges.

Méthode Variationnelle[modifier | modifier le wikicode]

Paradigme[modifier | modifier le wikicode]

  1. On introduit la fonction différence
  2. On établit le CV de
  3. On étudie ses variations.
  4. On conclue sur le signe de .

Champs d'application[modifier | modifier le wikicode]

C'est une méthode refuge (à éviter), mais quand c’est du mixte (sans différence et non simple), on ne peut pas faire autrement.


Intégration[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Subdivision d'un segment[modifier | modifier le wikicode]

Une subdivision du segment est une famille de réels vérifiant avec .

Fonction en escalier[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction réele est diteen escalier sur s'il existe une subdivision du segment et des réels tels que, pour tout , pour tout ,

Intégrale d'une fonction en escalier[modifier | modifier le wikicode]

Soit une subdivision de (où ...) et une fonction en escalier sur telle que alors: .

Intégrale d'une fonction à valeurs complexes[modifier | modifier le wikicode]

Si est une fonction continue par morceaux sur à valeurs complexe, alors


Règles générales d'intégration[modifier | modifier le wikicode]

Soient et sont deux fonctions continues par morceaux sur .

  • Linéarité : (pour tout couple de réels )
  • Positivité : si f est une fonction positive sur , alors ()
  • Croissance : si , alors
  • Relation de Chasles : et en particulier
  • Intégration par parties : si f et g sont C^1 sur

Inégalités[modifier | modifier le wikicode]

Inégalité de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]

Soient et par morceaux sur .

Le réel est appelé valeur moyenne de sur .

Si et sur [a,b] alors .

En particulier

Inégalité de Cauchy-Schwarz[modifier | modifier le wikicode]

L'application qui a associe définie un produit scalire sur Ainsi : ou encore

Inégalité triangulaire[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction par morceaux sur .

Alors : .

En particulier si , alors .


Astuce[modifier | modifier le wikicode]

Fonction continue, positive dont l'intégrale est nulle[modifier | modifier le wikicode]

Si f est continue et positive sur [a,b], alors:

Conséquences :

  1. Si est continue et n’est pas la fonction nulle, alors .
  2. Si est à valeurs réelles, continue sur , et si , alors il existe tel que .
  3. Si est positive, continue par morceaux sur et si , alors est nulle en tout point où elle est continue.

Sommes Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Si f est une fonction C^0 parmorceaux sur [a,b], la suite des sommes de Riemann associée à f est donnée par : ou bien

correspond à l'intégrale de la fonction en escalier qui prend la valeur sur (où ).

Si f est continue sur [a,b], alors

Pour faire apparaître une somme de Riemann dans une suite , on essaye d'écrire sous la forme ou . On en déduit




Primitives de fonctions simples[modifier | modifier le wikicode]

À une constante près !!!

Primitives de fonctions rationnelles[modifier | modifier le wikicode]

  • si
Primitives de fonctions logarithmes[modifier | modifier le wikicode]
Primitives de fonctions exponentielles[modifier | modifier le wikicode]
Primitives de fonctions irrationnelles[modifier | modifier le wikicode]
Primitives de fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]
Primitives de fonctions hyperboliques[modifier | modifier le wikicode]
Primitives de fonctions circulaires réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties. On suppose .

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques[modifier | modifier le wikicode]

On suppose .


Dérivation[modifier | modifier le wikicode]

Fonctions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Fonction Ensembles Propriétés Dérivée
Logarithme (népérien) , strictement croissante, bijective
Exponentielle , strictement croissante, bijection réciproque du logarithme (népérien)
Sinus , -périodique
Cosinus , -périodique
Tangente , -périodique, strictement croissante par intervalles
Arcsinus Continue sur et sur , bijection réciproque de sinus restreint, strictement croissante
Arccosinus Continue sur et sur , bijection réciproque de cosinus restreint, strictement décroissante
Arctangente , bijection réciproque de tangente restreint, strictement croissante

New[modifier | modifier le wikicode]