Cinématique

Exo 1

Une voiture, qui roulait initialement à vitesse constante, accélère pendant 12 s. Son accélération est $a=1,0\,m.s^{-2}$ . Quelle est la vitesse initiale de la voiture si elle parcourt 190 m pendant ces 12 s ?

Soit un système à accélération constante

$a=cte=1$
$v=v_{0}+a\times t$
$d=v_{0}\times t+{\frac {1}{2}}\times a\times t^{2}+d_{0}$
à t=0, $d_{0}$ = 0
à t=12, d = 190

Exo 2

Montrer que si l'accélération d'un mobile est constamment parallèle à un plan qui contient la vitesse du mobile à un instant particulier, le mouvement est plan.

On va s'intéresser au produit scalaire entre le vecteur position ${\overrightarrow {OM}}$ et une normale ${\overrightarrow {n}}$ au plan contenant la vitesse à l'instant t.

Pour savoir ce que vaut ${\overrightarrow {OM}}.{\overrightarrow {n}}$ , on va le dériver une première fois : ${\frac {d}{dt}}({\overrightarrow {OM}}.{\overrightarrow {n}})={\frac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}.{\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {OM}}.{\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}=v.n+0$
Pour savoir ce que vaut ${\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}}$ à n’importe quel instant, on va lui aussi le dériver : ${\frac {d}{dt}}({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}})={\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}.{\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {v}}.{\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}={\overrightarrow {a}}.{\overrightarrow {n}}+0=0$ car l'accélération est constamment parallèle au plan auquel n et normal.
On a donc ${\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}}={\mbox{cste}}=0$ car le même plan contient la vitesse à un instant particulier.
${\overrightarrow {OM}}.{\overrightarrow {n}}={\mbox{constante}}$ à tout instant : le mouvement est plan.

${\overrightarrow {a_{M}}}\,//\,(xOy)$
${\overrightarrow {a_{M}}}(a_{x},a_{y},a_{z})$ et $a_{z}=0$
$\Rightarrow {\overrightarrow {V_{M}}}(v_{x},v_{y},v_{z}={\mbox{cste}}=v_{0z}=0)$
$\Rightarrow {\overrightarrow {OM}}(x,y,z={\mbox{cste}}=z_{0})$

Exo 3

Un bobsleigh a une accélération constante, a = 1,8 m.s^-2. Il part du repos. La piste est rectiligne. À quelle vitesse glisse-t-il après 7 s ? Quelle distance a-t-il parcouru à l'instant où sa vitesse est 40 m.s^-1 ?

$v(7)=\int _{t=0}^{t=7}a\,\mathrm {d} \tau =a\left[7-0\right]=7a=12\,\mathrm {m.s} ^{-1}$
La vitesse est, à tout instant :

v(t)=\int _{0}^{t}a\,\mathrm {d} \tau =a\cdot t

On note t₄₀ l'instant où la vitesse atteint 40 m.s^-1 :

v(t_{40})=40\;\mathrm {m.s} ^{-1}=a\cdot t_{40}

t_{40}={\frac {40}{a}}

La distance parcourue pendant cette durée est :

{\begin{aligned}x(t_{40})&=\int _{t=0}^{t_{40}}v\,\mathrm {d} \tau \\\ &=a\int _{t=0}^{\frac {40}{a}}t\,\mathrm {d} \tau \\\ &=a\left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {40}{a}}\\\ &={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {40^{2}}{a^{2}}}\\\ &={\frac {800}{a}}\end{aligned}}

Application numérique : $x(t_{40})=4,4.10^{2}m$

Mathématiques

Exo 1

Soient $A=\sum C_{n}^{3k}$ , $B=\sum C_{n}^{3k+1}$ et $C=\sum C_{n}^{3k+2}$ où $n$ est un entier naturel.

Résoudre le système suivant :
${\begin{cases}x+y+z=a\\x+jy+j^{2}z=b\\x+j^{2}y+jz=c\end{cases}}$
Exprimer $A+B+C\,,\,A+jB+j^{2}C\,,\,A+j^{2}B+jC$ en fonction de j et n.
Déterminer A, B et C en fonction de j et n.
Exprimer A, B et C en fonction de n seulement (distinguer les cas n=3k, n=3k+1, n=3k+2).

Solution

$x={\frac {a+b+c}{3}},y={\frac {a+j^{2}b+jc}{3}},z={\frac {a+jb+j^{2}c}{3}}$ (voir w:Matrice de Vandermonde).
et suivantes : voir Sommation/Exercices/Sommation de combinaisons#Exercice 6-5