Utilisateur:Nicostella/exercice

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Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Partie A : Question de cours[modifier | modifier le wikicode]

1. Soit une fonction réelle définie sur . Compléter la phrase suivante :

On dit que admet une limite finie en si

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient , et trois fonctions définies sur et un nombre réel.

Si et ont pour limite commune quand tend vers ,

et si pour tout assez grand, ,

alors la limite de quand tend vers est égale à .

Partie A[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie sur par :

,

et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite d'équation est asymptote à .

On a représenté la courbe et la droite .

1. Soit un nombre réel. Écrire, en fonction de ,

une équation de la tangente à au point d'abscisse .

2. Cette tangente coupe la droite au point d'abscisse . Vérifier que .

3. En déduire et effectuer une construction de la tangente à au point d'abscisse 1,5.

On fera apparaître le point correspondant.

Partie B[modifier | modifier le wikicode]

1. Déterminer graphiquement le signe de .

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul , les inégalités suivantes :

.

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul  :

4.

a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :
.
b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul  :
c) En déduire que pour tout entier naturel non nul  :
.

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de :

puis sa limite en .