Aller au contenu

Utilisateur:Karl1263/Bac à sable/Mathématiques

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Help me!
Tracer une belle fonction de formule f(x)=−2x3+3x2+12x−1 (de 2 en 2 dans l'axe des y). Si le courage vous emporte, vous pouvez aussi tracer les tangentes pour les différentes questions ! Je vous en serais reconnaissant. Merci.

Exercice : Fonction dérivée

[modifier | modifier le wikicode]
Vous pouvez imprimer le sujet.

On considère une fonction ƒ définie et dérivable sur l'intervalle [-2,5 ; 3,5]. On donne ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C passe par les points A(-1 ; -8), B(0,5 ; 5,5) et le point D d'abscisse 2. Les tangentes Ta et Td aux points A et D à la courbe C sont horizontales. La tangente Tb au point B à la courbe C passe par le point E(1,5 ; 19).

Partie A
1. Quelle est l'image de -1 par ƒ ?
2. Tracer les tangentes Ta, Tb, Td à C en A, B et D.
3. Déterminer f′(−1) ; f′(0,5) et f′(2) ou f′ désigne la fonction dérivée de ƒ.
4. Déterminer des équations des tangentes Ta et Tb à C.
5. Donner par lecture graphique une valeur approchée des solutions de l'équation : f(x)=2.
6. Résoudre graphiquement l'inéquation : f′(x)≤0
7. C est la courbe représentative d'une fonction ƒ définie sur ℝ par :
f(x)=−2x3+ax2+bx+c
a. Déterminer f′(x) en fonction de a et b.
b. En utilisant f(−1), f′(−1) et f′(2), justifier que les réels a, b et c sont solutions du système d'équations suivant :
{a−b+c=−10−2a+b=64a+b=24
c. Déterminer les réels a, b et c puis donner une équation de C.
Partie B

La fonction ƒ dont on connaît la courbe C est définie sur l'intervalle [-2,5 ; 3,5] par :

f(x)=−2x3+3x2+12x−1
1. Calculer f′(x).
2. Étudier le signe de f′(x) suivant les valeurs de x ainsi que les variations de ƒ sur [-2,5 ; 3,5]
3. Déterminer une équation de la tangente Tf à C au point F d'abscisse -2. Tracer la tangente Tf sur la figure ci-dessus.
4. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10-2 près de la solution la plus petite de l'équation f(x)=2.
Solution
Partie A

1. L'image de -1 par ƒ est -8.

2.

3. f′(−1)=0

f′(0,5)=13,5
car, en exprimant le coefficient directeur de TA : yE−yBxE−xB=19−5,51,5−0,5=13,5
f′(2)=0

4. TA:y=−8

TB:y=13,5(x−0,5)+5,5=13,5x−6,75+5,5=13,5x−1,25

5. f(x)=2

S={x1,x2,x3}
avec x1≈−1,9
x2≈0,25
x3≈3,5
6. Résoudre l'équation f′(x)≤0 c’est chercher tous les intervalles où ƒ est décroissante.
S=[−2,5;−1]∪[2;3,5]

7. a. f′(x)=−6x2+2ax+b

b.

{f(−1)=−8f′(−1)=0f′(2)=0

{2+a−b+c=−8−6−2a+b=0−24+4a+b=0


{a−b+c=−10−2a+b=64a+b=24

c.

{a=3b=12c=−1

S={(3,12,−1)}

On en déduit une équation de C : y=−2x3+3x2+12x−1

Partie B

1. f′(x)=−6x2+6x+12

2. f′(x) s'annule en x=−1 et x=2.

x−2,5−123,5Signedex+1−0++Signedex−2−−0+Signede(x+1)(x−2)+0−0+Signedef′(x)−0+0−1919Variations~def↘↗↘−8−8

3. TF:y=−24(x+2)+3=−24x−48+3=−24x−45

4.

 
Récupérée de "https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Utilisateur:Karl1263/Bac_à_sable/Mathématiques&oldid=676800"