Translation et homothétie/Exercices/Pour les cracks

Exercice 7-1

Soient :

• $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan ;
• $𝒞$ un cercle passant par $A$ et $B$ ;
• ${𝒞}_1$ et ${𝒞}_2$ deux cercles, tangents intérieurement à $𝒞$ respectivement en $A$ et $B$ et tangents entre eux en un point $M$.

La droite $(AM)$ recoupe le cercle $𝒞$ en $D$.

La droite $(BM)$ recoupe le cercle $𝒞$ en $E$.

Démontrez que les points $D$ et $E$ sont diamétralement opposés sur le cercle $𝒞$.

Solution

Soient :

• $r$, $r_1$ et $r_2$ les rayons des trois cercles ;
• $h_1$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $r_1/r$, qui envoie $𝒞$ sur ${𝒞}_1$ et $D$ sur $M$ ;
• $h_2$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $r_2/r$, qui envoie $𝒞$ sur ${𝒞}_2$ et $E$ sur $M$ ;
• $h$ l'homothétie de centre $M$ et de rapport $-r_2/r_1$, qui envoie ${𝒞}_1$ sur ${𝒞}_2$.

Alors, l'homothétie $h_2^{-1}\circ h\circ h_1$ envoie $D$ sur $E$ et, puisqu'elle a pour rapport $-1$ et envoie $𝒞$ sur lui-même, c'est la symétrie par rapport au centre de $𝒞$.

 

Exercice 7-2

Soient :

• $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$ deux droites perpendiculaires en un point $O$ ;
• $P$ et $Q$ deux points de $𝒟$ tels que $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OQ}$.

On considère un point $M$ variable tout en restant équidistant de $P$ et $Q$.

Les droites $(MP)$ et $(MQ)$ coupent ${𝒟}^{\prime }$ respectivement en $A$ et $B$.

Soient $R$ et $S$ les centres des cercles circonscrits $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ respectivement aux triangles $PAO$ et $QBO$.

1°  a)  Démontrez que le quadrilatère $ORMS$ est un parallélogramme.

b)  Il existe deux homothéties qui transforment $𝒞$ en ${𝒞}^{\prime }$. Démontrez que le centre de l'une des deux est fixe et trouvez le lieu géométrique de l'autre, lorsque $M$ varie (sur la médiatrice de $[PQ]$).

2°  Les cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ se coupent en $O$ et $T$. Quel est le lieu géométrique de $T$ lorsque $M$ varie ?

Solution

1°  a)  Puisque $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OQ}$ et que $M$ est sur la médiatrice (parallèle à ${𝒟}^{\prime }$) de $[PQ]$, on a $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MQ}$ et $\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}$. D'autre part, $R$ est le milieu de l'hypoténuse $[AP]$ et de même, $S$ est le milieu de $[BQ]$. Par conséquent, $\overrightarrow{RM}=\frac{\overrightarrow{AP}}{4}=\frac{\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}}{4}=\frac{\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OB}}{2}=\overrightarrow{OS}$.

b)  Les deux homothéties ont pour rapport $\pm \frac{1}{2}$. Celle de rapport $-\frac{1}{2}$ a pour centre le point $\Omega \in 𝒟$ défini par $\overrightarrow{O\Omega }=\frac{2}{3}\overrightarrow{OQ}$. Celle de rapport $\frac{1}{2}$ a pour centre le point ${\Omega }^{\prime }$ défini par $\overrightarrow{O{\Omega }^{\prime }}=2(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MP})$, qui parcourt ${𝒟}^{\prime }$.

2°  Dans un repère orthonormé d'axes $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$, si $Q$ a pour abscisse $q$ et $M$ a pour ordonnée $m$, $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ ont pour équations $(x-q/2{)}^2+(y+m{)}^2=q^2/4+m^2$ et $(x-q{)}^2+(y-2m{)}^2=q^2+4m^2$ donc les coordonnées $(x,y)$ de $T$ vérifient : $x=-6ym/q$ et $x^2+y^2=4qx/3$. Par conséquent, $T$ parcourt le cercle de centre $\Omega$ passant par $O$.