Transformée de Laplace/Propriétés

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Propriété des transformées de Laplace

Remarque : les propriétés suivantes sont appliquées à des fonctions généralisées à support positif et localement intégrables.

Linéarité

Linéarité de la transformation de Laplace

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et intégrables sur $\mathbb {R} _{+}$

On a alors, pour tout couple de constantes $\alpha$ et $\beta$ :

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}=\alpha F(p)+\beta G(p)$

Dilatation du temps (changement d'échelle)

Pour un réel $k\neq 0$, on a :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{f(kt)\}={\frac {1}{k}}F({\frac {p}{k}})$

Transformée de Laplace d’un signal retardé (translation temporelle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$ retardé de $\tau$ est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{f(t-\tau )\}=e^{-\tau p}F(p)$

Transformée de Laplace d’un signal modulé (translation fréquentielle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$, modulé par $e^{-at}$, est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{e^{-at}f(t)\}=F(p+a)$

Transformée de la dérivée

Transformée de Laplace d'une dérivée

Soit $f(t)$ une fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ et $F(p)$ sa transformée de Laplace.

On a alors : ${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0^{-})$

La transformée de Laplace d'une fonction $f$ dérivable $n$ fois est définie comme suit :

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=p^{n}F(p)-\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}f^{(n-1-i)}(0^{-})$

Dans le cas d'une fonction $f$ définie et intégrable sur l'ensemble $\mathbb {R^{+}}$ et qui respecte les conditions de Heaviside (elle et toutes ses dérivées successives doivent s'annuler en $0$), la transformée de Laplace est la suivante :

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=p^{n}F(p)$

Transformée de Laplace de la primitive d’un signal

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{\int _{0}^{t}f(u)du\}={F(p) \over p}$

Détermination de la valeur initiale d’un signal

La valeur initiale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant :

Je mémorise

$\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{\overset {p\to +\infty }{p\in \mathbb {R} }}pF(p)$

Ce théorème est applicable si $F(p)$ a une abscisse de convergence finie et si la limite dans le domaine temporel existe.

Détermination de la valeur finale d’un signal

La valeur finale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant :

Je mémorise

$\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{\overset {p\to 0^{+}}{p\in \mathbb {R} }}pF(p)$

Ce théorème est applicable si $f$ est localement intégrable à support positif et qu'elle possède une limite finie dans le domaine temporel.

Transformée de Laplace d’un produit de convolution

Le produit de convolution de deux signaux $h(t)$ et $u(t)$ est noté $h(t)*u(t)$ et est défini par :

$h(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )u(\tau )d\tau$

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{h(t)*u(t)\}={\mathcal {L}}\{h(t)\}\cdot {\mathcal {L}}\{u(t)\}=H(p)\cdot U(p)$

La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en un produit simple.

Exemples d’application

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation (signaux d'entrée de systèmes physiques) les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus

Transformées de Laplace usuelles

${\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=1$

${\mathcal {L}}\{\Upsilon (t)\}={\dfrac {1}{p}}$

${\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{\sin(\omega t)\}={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$