Transformée de Laplace/Propriétés
Propriété des transformées de Laplace[modifier | modifier le wikicode]
Linéarité[modifier | modifier le wikicode]
Soient et deux fonctions définies sur .
On a alors, pour tout couple de constantes α et β :
.
Par linéarité de l'intégration, on en déduit :
.
Dilatation du temps[modifier | modifier le wikicode]
Pour un réel positif , on a :
Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = kt, du = kdt, dans le calcul de la transformée de Laplace.
Transformée de Laplace d’un signal retardé[modifier | modifier le wikicode]
La transformée de Laplace du signal x(t) retardé de τ est donnée par :
Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = t − τ , du = dt, dans le calcul de la transformée de Laplace.
Transformée de Laplace d’un signal modulé[modifier | modifier le wikicode]
La transformée de Laplace du signal x(t), modulé par , est donnée par :
Transformée de la dérivée[modifier | modifier le wikicode]
Soit une fonction dérivable de et sa transformée de Laplace, on a alors :
- .
Plus généralement pour une fonction fois dérivable, si s'annulent en , on parle de conditions de Heaviside, et l'on a alors :
Ces deux propriétés rendent la transformation de Laplace utile pour la résolution des équations différentielles.
Transformée de Laplace de la primitive d’un signal[modifier | modifier le wikicode]
La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :
Détermination de la valeur initiale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]
La valeur initiale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :
Détermination de la valeur finale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]
La valeur finale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :
Transformée de Laplace d’un produit de convolution[modifier | modifier le wikicode]
Le produit de convolution de deux signaux h(t) et u(t) est noté h(t) * u(t) et est défini par :
La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :
La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en produit simple.
Exemples d’application[modifier | modifier le wikicode]
À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus
Les démonstrations se basent sur du calcul de primitives usuelles que l'on effectuera sans considérations mathématiques formelles.
- On rappelle que l'impulsion de Dirac est définie par la fonction nulle presque partout, infinie en 0 (point concentrant toute la masse), et telle que son intégrale sur tout intervalle contenant 0 soit égale à 1. On a dès lors, par définition :
.
Cette formule peut être généralisée facilement au calcul de transformées de Laplace de fonctions composées avec l'impulsion de Dirac, voire sa translatée. Ainsi, la transformée de Laplace de est . La démonstration est laissée en exercice au lecteur. - La fonction échelon de Heaviside est définie par la fonction nulle pour tout et unitaire pour tout . On a alors :
. - La transformée de Laplace de la fonction cosinus peut se calculer par une double intégration par parties. La première donne :
puis la seconde donne :
,
d'où l'on tire facilement le résultat voulu.
La même méthode permet de montrer l'expression de la transformée de Laplace de la fonction sinus.