Leçons de niveau 15

Transformée de Laplace/Propriétés

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Propriétés
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Transformée de Laplace
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Sommaire
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Transformée de Laplace : Propriétés
Transformée de Laplace/Propriétés
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Propriété des transformées de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Linéarité[modifier | modifier le wikicode]

Dilatation du temps[modifier | modifier le wikicode]

Pour un réel positif , on a :

Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = kt, du = kdt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal retardé[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace du signal x(t) retardé de τ est donnée par :

Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = t − τ , du = dt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal modulé[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace du signal x(t), modulé par , est donnée par :

Transformée de la dérivée[modifier | modifier le wikicode]

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Ces deux propriétés rendent la transformation de Laplace utile pour la résolution des équations différentielles.

Transformée de Laplace de la primitive d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :

Détermination de la valeur initiale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La valeur initiale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :

Détermination de la valeur finale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La valeur finale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :

Transformée de Laplace d’un produit de convolution[modifier | modifier le wikicode]

Le produit de convolution de deux signaux h(t) et u(t) est noté h(t) * u(t) et est défini par :

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :

La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en produit simple.

Exemples d’application[modifier | modifier le wikicode]

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus