Leçons de niveau 15

Transformée de Laplace/Propriétés

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Propriétés
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Transformée de Laplace
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Transformées usuelles
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Transformée de Laplace : Propriétés
Transformée de Laplace/Propriétés
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Propriété des transformées de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Linéarité[modifier | modifier le wikicode]


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

De par la linéarité de l’intégration, la transformée de Laplace est donc linéaire, autrement dit, pour tout couple de signaux x1 (t) et x2 (t) tels que leur transformée de Laplace converge, et pour tout couple de constantes α et β, on vérifie :


Dilatation du temps[modifier | modifier le wikicode]

Pour un réel positif k, on a :


Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = kt, du = kdt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal retardé[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace du signal x(t) retardé de τ est donnée par :


Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = t − τ , du = dt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal modulé[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace du signal x(t), modulé par est donnée par :


Transformée de la dérivée[modifier | modifier le wikicode]


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Ces deux propriétés rendent la transformation de Laplace utile pour la résolution des équations différentielles.

Transformée de Laplace de la primitive d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :


Détermination de la valeur initiale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La valeur initiale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :


Détermination de la valeur finale d’un signal[modifier | modifier le wikicode]

La valeur finale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :


Transformée de Laplace d’un produit de convolution[modifier | modifier le wikicode]

Le produit de convolution de deux signaux h(t) et u(t) est noté h(t) * u(t) et est défini par :

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :


La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en produit simple.

Exemples d’application[modifier | modifier le wikicode]

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus



Les démonstrations se basent sur du calcul de primitives usuelles que l'on résoudra sans considérations mathématiques formelles.

Début d'une démonstration


Fin de la démonstration