Transformée de Laplace/Définitions

**Définitions**
Leçon : Transformée de Laplace

Chapitre n^o 1
Retour au	Sommaire
Chap. suiv. :	Propriétés

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Transformée de Laplace : Définitions
Transformée de Laplace/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Transformation de Laplace

Transformation de Laplace directe

Soit $\displaystyle f$ une fonction (réelle ou complexe) généralisée de la variable réelle $t$ définie sur $\displaystyle \mathbb {R}$ .

On définit la transformée de Laplace $\displaystyle F$ de $\displaystyle f$ de la manière suivante :

$F(p)={\mathcal {L}}(f(t))(p)=\int \limits _{0^{-}}^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt$

Remarque : $F$ est une fonction (réelle ou complexe) de la variable complexe $p$ . En effet, $p\in \mathbb {C}$

Pour que l’intégrale précédente converge, il faut qu’il existe deux constantes $M$ et $a$ telles que le signal soit majoré en amplitude par une exponentielle décroissante : $|f(t)|<M\cdot \exp(-at)$ , pour tout $t$

On peut alors définir la transformée de Laplace inverse.

Transformation de Laplace inverse

Transformation de Laplace Inverse

Soit $\displaystyle F$ une fonction (réelle ou complexe) définie sur $\displaystyle \mathbb {C}$ .

On définit la transformée de Laplace Inverse $\displaystyle f$ de $\displaystyle F$ de la manière suivante :

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}(F(p))(t)={1 \over 2\pi j}\int \limits _{\gamma -j\infty }^{\gamma +j\infty }F(p)e^{pt}dp$

La fonction $f$ est alors une fonction (réelle ou complexe) de la variable réelle $t$ . Elle est appelée l'original de $F$ .

La constante $\gamma$ est choisie de telle sorte que l'intégrale soit convergente et que par conséquent, $F(p)$ tende vers 0 au voisinage de $+\infty$

À part en mathématiques, cette formule est rarement utilisée pour le calcul de l'original à partir de sa transformée. On préfère utiliser des tables ou des logiciels de calcul formel.

On utilise fréquemment l’équivalence $p=j\omega$ , où $\omega =2\pi f$ est la pulsation du signal d’entrée. La variable $f$ correspond à la fréquence du signal. De ce fait, par abus de langage on dit que la transformée de Laplace d’un signal se situe dans le domaine fréquentiel, tandis que le signal appartient au domaine temporel.