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Soit une fonction définie sur de la variable . (La variable sera souvent temporelle, d'où l’utilisation de la lettre ). On définit la transformée de Laplace de de la manière suivante :
Remarque : la nouvelle variable appartient quant à elle à .
Pour que l’intégrale précédente converge, il faut qu’il existe deux constantes M et a telles que le signal soit majoré en amplitude par une exponentielle décroissante :
, pour tout
On peut alors définir la transformée de Laplace inverse.
Soit une fonction définie sur . On définit la transformée de Laplace Inverse de de la manière suivante :
À part en mathématiques, cette formule est rarement utilisée pour le calcul de la transformée de Laplace inverse. On lui préfère l’utilisation de tables.
On utilise fréquemment l’équivalence p = jω, où ω est la fréquence du signal d’entrée. De ce fait, par abus de langage on dit que la transformée de Laplace d’un signal se situe dans le domaine fréquentiel, tandis que le signal appartient au domaine temporel.