Leçons de niveau 15

Transformée de Laplace/Exercices/Courant dans un circuit RLC

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Courant dans un circuit RLC
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Exercices no3
Leçon : Transformée de Laplace

Exercices de niveau 15.

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Transformée de Laplace/Exercices/Courant dans un circuit RLC
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Dans un laboratoire, un technicien étudie l'établissement d'un courant d'intensité i dans un circuit de type RLC. i est une fonction à valeur réelles de la variable t définie comme suist :

U est la fonction échelon unité, définie par :

1. Déterminer, à l'aide de la variable réelle p la transformé de Laplace de la fonction

2. Exprimer, à l'aide de la variable réelle p et de la transformée de Laplace I de i, la transformée de Laplace de la fonction

3. En déduire, pour , I(p) en fonction de p

4. Monter que, pour , I(p) s'écrit sous la forme :

5. Déduire de ce qui précède l’expression de i(t) en fonction de t

Le technicien chargé de l'étude, s'intéresse maintenant aux valeurs approchées de i(t) lorsque t est positif et proche de 0. Il considère, a cet effet, la fonction f définie sur par : .

6. Déterminer le développement limité de f à l’ordre 3 en x = 0 ( on pourra utiliser les développements limités de et à l'odre 3 en zéro). On admettra que le technicien peut alors écrire avec