Transformée de Laplace/Exercices/Charge et décharge d'un condensateur

Dans le circuit ci-contre on se propose de rechercher, grâce à la transformation de Laplace, la fonction du temps donnant la tension $u_{c}(t)$ aux bornes du condensateur.

La force électromotrice $f$ appliquée aux bornes du circuit est définie en fonction de $t$ par :

${\begin{cases}f(t)=0&{\mbox{si }}t<0\\f(t)=E&{\mbox{si }}0\leq t\leq A\\f(t)=0&{\mbox{si }}t>A\end{cases}}$

où $A$ et $E$ sont des nombres réels strictement positifs.

L'équation différentielle qui régit le circuit s'écrit :

$(E):{\begin{cases}RC{du_{c} \over dt}+u_{c}(t)=f(t)\qquad \forall t\in [0;A]&\\u_{c}(t)=0\qquad \forall t<0\end{cases}}$

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :

${\begin{cases}U(t)=0&{\mbox{si }}t<0\\U(t)=1&{\mbox{si }}t\in R_{+}\end{cases}}$

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ et l'exprimer à l'aide de l'échelon-unité.

2. Déterminer la transformée de Laplace de chacun des deux membres de l'équation . (On notera $U_{c}(p)={\mathcal {L}}\left\{u_{c}(t)\right\}$)

3. Montrer que : $U_{c}(p)={E(1-e^{-pA}) \over p(1+RCp)}$

4. En déduire les expressions de $u_{c}(t)$ sur chacun des intervalles $\left]-\infty ,0\right[$, $\left[0,A\right]$, $\left]A,+\infty \right[$

5. Application numérique :

On donne $R=100\Omega$ , $C=10^{-2}F$ , $A=1s$ , $E=1V$

Correction de l'exercice

1. Représentation graphique de la fonction $f$ :

Expression de la fonction $f$ à l'aide de l'échelon-unité :

$f(t)=E(U(t)-U(t-A))$

2. Expression des transformées de Laplace des deux membre de l'équation (pour $t\in [0;A]$)

• Transformée de Laplace de $RC{du_{c} \over dt}+u_{c}(t)$ :
  • $U_{c}(p)(1+RCp)$

• Transformée de Laplace de $f(t)$ :
  • $F(p)={E \over p}\left(1-e^{-pA}\right)$

3. Recherche de l'expression de $U_{c}(p)$

${\mathcal {L}}\left\{(E)\right\}={\mathcal {L}}\left\{RC{du_{c} \over dt}+u_{c}(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Or : ${\mathcal {L}}\left\{RC{du_{c} \over dt}+u_{c}(t)\right\}=U_{c}(p)(1+RCp)$

Et : ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={E \over p}(1-e^{-pA})$

En développant et en simplifiant les expressions dans les deux membres de l'équation, on trouve le résultat suivant :

$U_{c}(p)={E(1-e^{-pA}) \over p(1+RCp)}$

4. Expression de la fonction $u_{c}(t)$ dans différents intervalles

• Pour $t<0$ :
  • $u_{c}(t)=0$

• Pour $t\in [0;A]$ :
  • $u_{c}(t)=E\left[{\Bigl (}e^{A-t \over RC}-1{\Bigr )}U(t-A)-e^{-t \over RC}+1\right]$

• Pour $t>A$ :
  • $u_{c}(t)=E{\Bigl (}e^{A-t \over RC}{\Bigr )}U(t-A)$

5. Applications numériques

• Charge du condensateur :
  • $u_{c}(t)=\left(e^{1-t}-1\right)U(t-1)-e^{-t}+1$

• Décharge du condensateur :
  • $u_{c}(t)=\left(e^{1-t}\right)U(t-1)$