Théorie générale du choix et des préférences/Teorema di rappresentazione di Debreu

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Si les préférences $\succcurlyeq$, définies sur $X=\mathbb {R} _{+}^{n}$, sont (réflexives,) complètes, transitives, continues et strictement monotones, alors il existe une fonction $u:X\rightarrow \mathbb {R}$ telle que : $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,u\left(\mathbf {x} \right)\geq u\left(\mathbf {y} \right)\Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y}$

Nous démontrons seulement l’existence de la fonction ; pour la continuité, on renvoie à l’article original de Debreu (1954).

Soit $\mathbf {e}$, vecteur de $\mathbb {R} _{+}^{n}$, constitué uniquement de 1. Étant donné n’importe quel panier $\mathbf {x} \in X$, soit $u\left(\mathbf {x} \right)$ le nombre tel que $\mathbf {x} \sim u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e}$, c’est-à-dire tel que le panier donné est indifférent à un panier constitué de la quantité $u\left(\mathbf {x} \right)$ de chaque bien.

Montrons que ce nombre existe pour tout $\mathbf {x} \in X$ et qu’il est unique :

soit $B\equiv \left\{t\in \mathbb {R} |t\mathbf {e} \succcurlyeq \mathbf {x} \right\}$ l’ensemble de tous les nombres réels tels que les paniers constitués d’une telle quantité de chaque bien sont faiblement préférés à $\mathbf {x}$ ; cet ensemble n’est pas vide, puisqu’il contient au moins tous les $t$ supérieurs à la plus grande quantité de bien contenue dans $\mathbf {x}$ : en effet, étant donné la monotonie imposée aux préférences, $t\mathbf {e}$ est certainement préféré à $\mathbf {x}$.

soit $W\equiv \left\{t\in \mathbb {R} |\mathbf {x} \succcurlyeq t\mathbf {e} \right\}$ l’ensemble de tous les nombres réels tels que $\mathbf {x}$ est préféré aux paniers constitués d’une telle quantité de chaque bien ; cet ensemble n’est pas vide non plus, puisqu’il contient au moins zéro.

$B$ et $W$ sont tous deux fermés, en vertu de l’axiome de continuité.

par l’axiome de complétude, tous les paniers sont comparables ; donc $B\cup W=\mathbb {R}$.

compte tenu des deux observations précédentes, $B\cap W\neq \emptyset$, puisqu’ils doivent au moins avoir un point frontière en commun ; on se demande alors si l’intersection est un point unique (car ce n’est que dans ce cas que l’on pourrait parler de fonction) :

• • par l’absurde, supposons l’existence de $t>t'|t,t'\in B\cup W$ ; on aurait alors $t'\mathbf {e} \sim \mathbf {x} \sim t\mathbf {e}$ et, par transitivité, $t'\mathbf {e} \sim t\mathbf {e}$, ce qui est en contradiction avec $t\mathbf {e} \succ t'\mathbf {e}$, impliqué par la monotonie stricte. L’intersection est donc un singleton.

Une fois démontrées l’existence et l’unicité de ce nombre, il reste à montrer que $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,u\left(\mathbf {x} \right)\geq u\left(\mathbf {y} \right)\Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y}$, c’est-à-dire que la fonction « fonctionne » correctement.

La démonstration est simple et se fonde sur la monotonie stricte et la transitivité ; on la présente donc en symboles sans commentaires :

$\Rightarrow$ – par monotonie stricte : $u\left(\mathbf {x} \right)>u\left(\mathbf {y} \right)\Rightarrow u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e} \succ u\left(\mathbf {y} \right)\mathbf {e}$ et par transitivité $\mathbf {x} \succ \mathbf {y}$

$\Leftarrow$ – identique au précédent.

Si l’on veut représenter le problème en deux dimensions, imaginons que l’on dispose d’un panier générique $\mathbf {x}$. Tous les paniers sont comparables à $\mathbf {x}$, et en particulier ceux qui se trouvent sur la première bissectrice. Ces derniers ne sont pas indifférents entre eux, en raison de la monotonie stricte : ils sont au contraire parfaitement ordonnables par la préférence stricte.

Puisqu’il existe au moins un panier comme $\mathbf {y}$ (strictement préféré à $\mathbf {x}$) et au moins un panier non préféré à $\mathbf {x}$ (l’origine), grâce à la continuité nous sommes certains de l’existence du panier $u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e} \sim \mathbf {x}$, et, toujours en raison de la monotonie stricte, celui-ci est unique.

D’après le graphique, il est en outre possible de saisir l’idée de classe d’équivalence dans ce contexte. Chaque panier appartient à une classe d’équivalence (qui constituent les courbes d’indifférence, que nous verrons plus loin), dont l’élément représentatif pourrait être l’un des paniers situés sur la bissectrice.

L’espace de tous les paniers $X$ est partitionné en courbes d’indifférence, et l’ensemble de ces courbes infinies constitue l’ensemble quotient $X/\sim$, lequel est totalement ordonné par la préférence stricte, comme on le comprend facilement en observant les paniers représentatifs situés sur la bissectrice : ceux-ci sont en effet totalement ordonnés en raison de la monotonie stricte des préférences.