Théorie générale du choix et des préférences/Ipotesi imposte sulle preferenze

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Complétude

$\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in X:𝐱\succcurlyeq 𝐲\vee 𝐲\succcurlyeq 𝐱$

Autrement dit, étant donné deux paniers de consommation quelconques, au moins l'un est faiblement préféré à l'autre. Cela signifie que deux paniers quelconques sont toujours comparables : en substance, le consommateur doit toujours pouvoir décider, en exprimant éventuellement de l'indifférence (double préférence faible), mais sans jamais refuser de répondre.

Réflexivité

$\mathrm{\forall }𝐱\in X:𝐱\succcurlyeq 𝐱$

Autrement dit, tout panier de consommation est faiblement préféré à lui-même. Cette propriété peut paraître redondante, compte tenu de l'hypothèse d'exhaustivité des préférences, mais il est utile de la préciser explicitement.

Transitivité

$\mathrm{\forall }𝐱,𝐲,𝐳\in X:𝐱\succcurlyeq 𝐲\wedge 𝐲\succcurlyeq 𝐳\Rightarrow 𝐱\succcurlyeq 𝐳$

Autrement dit : étant donné trois paniers de consommation quelconques, si le premier est faiblement préféré au deuxième, et le deuxième au troisième, alors le premier panier est également faiblement préféré au troisième.

• Data tale proprietà, è possibile dimostrare che anche $\succ$ e $\sim$ sono transitive (la dimostrazione è lasciata come esercizio). Sulla transitività di tali relazioni è possibile menzionare diversi paradossi, in particolare il paradosso di Condorcet, che però riguarda le preferenze collettive; per quanto riguarda, invece, la transitività dell'indifferenza, si presuppone che il consumatore sia in grado di distinguere beni aventi differenze infinitesime.
• Si noti, a questo punto, che la preferenza debole, date le proprietà di riflessività e transitività, è un preordine; inoltre la relazione di indifferenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è una relazione di equivalenza. Tale relazione determina, quindi, una partizione dell'insieme di consumo con suddivisione in classi di equivalenza. L'insieme quoziente $X/\sim$ risulta, dunque, totalmente ordinato mediante la $\succ$.

Continuité

$\mathrm{\forall }𝐲\in X$, $\{𝐱\in X|𝐱\succcurlyeq 𝐲\}$ e $\{𝐱\in X|𝐲\succcurlyeq 𝐱\}$ sono insiemi chiusi

Questo significa che, data una successione di panieri ${𝐱}_n$ che convergono ad un paniere $𝐱$, se $𝐲$ è preferito a tutti i panieri della successione, è anche preferito a $𝐱$, e viceversa.

Questa proprietà permette di escludere alcuni tipi di preferenza, come l’ordine lessicografico; in quest'ultimo caso, infatti, esisterebbe un bene che non è sostituibile con gli altri e non verrebbe mai scambiato.

Monotonie forte

$\mathrm{\forall }𝐱\ne 𝐲,x_l\ge y_l\mathrm{\forall }l\Rightarrow 𝐱\succ 𝐲$

Autrement dit, étant donné deux paniers distincts, si l'un d'eux contient au moins la même quantité de chaque bien que l'autre, alors il est strictement préférable. En d'autres termes, si deux paniers sont identiques, mais que l'un d'eux contient au moins un bien en quantité strictement supérieure, alors il est nécessairement strictement préférable.

• Dans la définition de la monotonie faible, la préférence stricte est remplacée par la préférence faible.
• L'hypothèse d'une forte monotonie contraste avec les préférences àLeontief.