Théorie du corps de classe/Présentation de la leçon
La théorie du corps de classe est l'un des grands aboutissements de la théorie des nombres du XXe siècle. Son histoire commence au XIXe avec la loi de réciprocité quadratique prouvée par Gauss. Sous l'impulsion d'Artin et d'Hilbert (pour ne citer qu'eux) s'est développé un vaste programme de généralisation de la loi de réciprocité quadratique.
L'aboutissement de ce programme est la théorie du corps de classe, qui classifie toutes les extensions abéliennes de corps de nombres.
De nos jours, l'équivalent d'une théorie du corps de classe est toujours recherchée pour les corps de nombres galoisiens, c’est une des questions auxquelles est censé répondre le programme de Langlands. La situation y est beaucoup plus complexe que dans le cas abélien.