Théorie classique du consommateur/Le théorème de la dualité

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Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite :

1. $e[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]\equiv y$: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial.
2. $v[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]\equiv {\bar {u}}$: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné.
3. $x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,y)\equiv x_{i}^{h}[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]$: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus.
4. $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})\equiv x_{i}^{m}[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]$: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné.

Le lemme de Shephard

Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : $x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}$. Fournissons maintenant la démonstration :

• la fonction de dépense minimale est : $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$ ; en dérivant par rapport à $p_{k}$, on obtient : ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}={\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}+x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$.
• la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : $p_{i}=\lambda u'_{i}$, d’où $u'_{i}={\frac {p_{i}}{\lambda }}$.
• la contrainte du problème dual est : $u(\mathbf {x} )={\bar {u}}$, d’où, en dérivant par rapport à $p_{k}$, on obtient $\sum _{i=1}^{N}u'i{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}=0$, donc ${\frac {1}{\lambda }}{\color {Red}\sum {i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}=0$ et, puisque $\lambda \neq 0$ et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré.
• on remarque que cette démonstration est une application du théorème de l’enveloppe.

L’identité de Roy

Dans le cadre du problème primal, nous avons vu que l’une des propriétés de la fonction d’utilité indirecte est l’identité de Roy : $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$. Fournissons maintenant la démonstration :

• en différenciant l’identité (2), on obtient ${\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}}=0$.
• la partie en rouge dans l’équation précédente est, d’après le lemme de Shephard, la demande hicksienne, qui est à son tour égale (à l’optimum) à la demande marshallienne. En l’exprimant en termes de cette dernière, on obtient directement l’identité de Roy.

L’identité de Hotelling-Wold

L’identité de Hotelling-Wold affirme que le prix normalisé par le revenu d’un bien k est égal au rapport entre son utilité marginale et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées : ${\frac {\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{k}}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}}\equiv {\frac {u'k}{\sum {i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}}{y}}$. Cette équation peut être vue, et c’est pour cela qu’elle est utilisée dans certaines applications économétriques, comme un système de demande marshallienne inverse, qui exprime le prix en fonction de la quantité demandée.

Cette équation peut aussi s’écrire ${\frac {u'kx_{k}}{\sum {i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}x_{k}}{y}}$, c’est-à-dire que la part du revenu dépensée pour un bien est égale au rapport entre son utilité marginale, multipliée par la demande optimale, et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées. Démontrons-le :

• la i-ème condition du premier ordre, multipliée par $x_{i}$, est $u'_{k}x_{i}-\lambda p_{i}x_{i}=0$.
• en sommant toutes les conditions du premier ordre, on obtient $\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'i-\lambda y=0$, d’où $\lambda ={\frac {\sum {i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}$.
• en substituant $\lambda$ dans la k-ème condition du premier ordre, on a $u'k-{\frac {\sum {i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}p_{k}=0$, ce qui, exprimé en termes de prix normalisé par le revenu, donne l’équation de Hotelling-Wold.

L’équation de Slutsky

L’équation de Slutsky est probablement l’une des plus utilisées dans le cadre de la théorie du consommateur : elle permet de décomposer l’effet total qu’une variation du prix d’un certain bien a sur la demande d’un autre (ou du même) bien en deux parties :

• l’effet de substitution, lié au fait qu’un bien est devenu plus ou moins coûteux par rapport aux autres : le consommateur réagit en ajustant sa demande, en substituant éventuellement ce bien par un autre.
• l’effet de revenu, lié au fait qu’une variation de prix affecte la contrainte budgétaire, la rendant plus ou moins restrictive : le consommateur se sent donc plus ou moins riche et, en conséquence, modifie sa demande optimale pour le bien.

En termes formels, l’équation est : $\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}} {Effetto\ totale}=\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}} {Effetto\ sostituzione}-\underbrace {{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}x_{j}^{m}} _{Effetto\ reddito}$. On en donne la démonstration :

• en dérivant l’identité (4) exprimée ci-dessus par rapport à $p_{j}$, on obtient : ${\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e}{\partial p_{j}}}}$, où la partie en rouge, d’après le lemme de Shephard, est égale à la demande hicksienne du bien j, qui est également égale à la demande marshallienne de ce même bien.

À ce stade, quelques observations sur les fonctions de demande sont utiles :

• la demande hicksienne est non croissante en fonction des prix ; en effet, on a $x_{i}^{h}={\frac {\partial e}{\partial p_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial x_{i}^{h}}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial ^{2}e}{\partial p_{i}^{2}}}\leq 0$, d’après le lemme de Shephard et la concavité de la fonction de dépense par rapport aux prix. De cette dernière observation, on déduit en outre que la matrice des termes de substitution, qui contient les dérivées des demandes hicksiennes par rapport aux différents prix, est semi-définie négative et symétrique, puisqu’elle coïncide avec l’hessien de la fonction de dépense (qui est concave).
• la demande marshallienne, en revanche, peut être croissante ou décroissante par rapport aux prix, comme nous l’avions implicitement affirmé en présentant la classification des biens (Giffen vs. ordinaire).

De l’équation de Slutsky, on peut donc facilement déduire que :

• Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l’effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l’effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage.
• Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu’il faut exclure qu’il puisse être de Giffen, il est ordinaire.

La construction de Antonelli

La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses par rapport aux prix , sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, $\min _{v(\mathbf {p} ,y)={\bar {u}}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$ si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: $p_{i}=f(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una funzione di distanza $d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene k è uguale al prezzo del bene k, ossia ${\frac {\partial d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})}{\partial x_{k}}}=p_{k}$.

Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de systèmes de demande inverse .