Théorie classique du consommateur/Le théorème de la dualité

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Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite :

1. $e[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]\equiv y$: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial.
2. $v[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]\equiv {\bar {u}}$: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné.
3. $x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,y)\equiv x_{i}^{h}[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]$: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus.
4. $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})\equiv x_{i}^{m}[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]$: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné.

Le lemme de Shephard

Nell'ambito del problema duale abbiamo detto che vale:$x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:

• la funzione di spesa minima è: $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$; derivando rispetto a $p_{k}$ si ha: ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}={\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}+x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$.
• la i-esima condizione del primo ordine nel problema duale è: $p_{i}=\lambda u'_{i}$, da cui $u'_{i}={\frac {p_{i}}{\lambda }}$
• il vincolo del problema duale è: $u(\mathbf {x} )={\bar {u}}$, da cui derivando rispetto a p_k, si ha $\sum _{i=1}^{N}u'_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}=0$, dunque ${\frac {1}{\lambda }}{\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}=0$ e per $\lambda \neq 0$ e finito la sommatoria è nulla ed il lemma è dimostrato.
• si noti che tale dimostrazione è un'applicazione del teorema dell'inviluppo.

L'identità di Roy

Nell'ambito del problema primale, abbiamo visto che una delle proprietà della funzione di utilità indiretta è l'identità di Roy: $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:

• differenziando l'identità (2), si ha ${\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}}=0$.
• la parte in rosso nell'equazione precedente è, per il lemma di Shephard, la domanda hicksiana, che è a sua volta uguale (in ottimo) alla domanda marshalliana. Esplicitando in termini di quest'ultima, si ottiene direttamente l'identità di Roy.

L'identità di Hotelling-Wold

L'identità di Hotelling-Wold dice che prezzo normalizzato per il reddito di in un bene k è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande: ${\frac {\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{k}}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}}\equiv {\frac {u'_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}}{y}}$. Tale equazione può essere vista, ed è per questo utilizzata per alcune applicazioni econometriche, come un sistema di domanda marshalliana inversa, che esprime il prezzo in funzione della quantità domandata.

Tale equazione è anche esprimibile come ${\frac {u'_{k}x_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}x_{k}}{y}}$, ossia la quota di reddito spesa in un bene è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale, moltiplicata per la domanda ottimale, e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande. Dimostriamolo:

• la i-esima condizione del primo ordine, moltiplicata per $x_{i}$ è $u'_{k}x_{i}-\lambda p_{i}x_{i}=0$.
• sommando tutte le condizioni del primo ordine, si ottiene $\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}-\lambda y=0$, da cui$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}$.
• sostituendo $\lambda$ nella k-esima condizione del primo ordine, si ha $u'_{k}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}p_{k}=0$, che esplicitata in termini di prezzo normalizzato per il reddito esprime l'equazione di Hotelling-Wold.

L'equazione di Slutsky

L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l'effetto totale che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti:

• l'effetto sostituzione, dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro.
• l'effetto reddito, dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene.

In termini formali l'equazione è: $\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ totale}=\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ sostituzione}-\underbrace {{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}x_{j}^{m}} _{Effetto\ reddito}$. Si fornisce la dimostrazione:

• derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a $p_{j}$ si ha: ${\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e}{\partial p_{j}}}}$, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene j, che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene.

A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda:

• la domanda hicksiana è non crescente nei prezzi, infatti si ha $x_{i}^{h}={\frac {\partial e}{\partial p_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial x_{i}^{h}}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial ^{2}e}{\partial p_{i}^{2}}}\leq 0$, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la matrice dei termini di sostituzione, che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l’hessiano della funzione di spesa (che è concava).
• la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario).

Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che:

• Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l'effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l'effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage.
• Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu'il faut exclure qu'il puisse être de Giffen, il est ordinaire.

La construction de Antonelli

La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses par rapport aux prix , sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, $\min _{v(\mathbf {p} ,y)={\bar {u}}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$ si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: $p_{i}=f(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una funzione di distanza $d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene k è uguale al prezzo del bene k, ossia ${\frac {\partial d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})}{\partial x_{k}}}=p_{k}$.

Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de systèmes de demande inverse .