Leçons de niveau 15

Théorie classique du consommateur/Le problème du consommateur

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Le problème du consommateur
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie classique du consommateur
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Théorie classique du consommateur/Le problème du consommateur
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Au cours de la première leçon nous avons vu comment en partant des préférences nous arrivons à une fonction d'utilité qui les représente. Nous avons donc la capacité de représenter ce que le consommateur désire. Malgré tout le consommateur n'a pas la possibilité d'obtenir tous les paniers du total de la consommation, mais seulement une part de ceux-ci, vu qu’il doit tenir compte, des contraintes budgétaires, de façon à ne pas dépenser plus que les ressources mises à sa disposition. La limite du budget est déterminée, donc, par la quantité des ressources mise à disposition, de la richesse et des prix qu’il doit payer pour obtenir les biens, . Nous pouvons donc identifier l’ensemble du budget comme

Dans ces définitions il doit être clair que nous assumons que les prix sont linéaires, ce qui sous-entend que le prix d'un bien ne change pas avec la variation de la quantité consommée du bien lui-même ou des autres biens. Ce qui exclut , donc, les remises pour la quantité, les impots progressifs (dans les modèles avec taxes) et les différences entre les taux créditeurs et débiteurs (dans les modèles d'épargne).

Vu la fonction d'utilité et l'obligation du budget, le problème du consommateur est . La meilleure solution de ce problème est la demande marshallienne, que nous indiquerons ainsi : elle est bien sûr fonction des paramètres du problème.

  • La solution du problème existe, parce que la fonction d'utilité est continue, nous l'avons traitée auparavant

premier chapitre , et l’ensemble du budget est bloqué, les prix étant rigoureusement positifs, car il n'existe pas de biens sans cout. Entr'autre la solution est unique, les prix étant linéaires, l’ensemble du budget est donc convexe, et les préférences sont rigoureusement convexes.

Classification des biens[modifier | modifier le wikicode]

  1. Si est:
    • positive, le bien est dit normal
    • negative, le bien est dit inférieur
    • nulle, le bien est dit non élastique au revenu
  2. Si est:
    • positive, le bien est dit de Giffen
    • negative, le bien est dit ordinaire
    • nulle, le bien est dit non élastique au propre prix
  3. Si est:
    • positive, les biens et sont dit sobstitutifs ou succédanés
    • negative, les biens et sont dit compléments
    • nulle, les biens et sont dit indépendents

Propriété de la demande marshallienne[modifier | modifier le wikicode]

  1. Loi de Walras
    • La monotonie des préférences impliquent la non satisfaction locale, c'est-à-dire : dans chaque autour de il existe un autre panier légèrement préféré.
    • La loi de Walras dit que le consommateur dépense entièrement toutes les ressources disponibles :
  2. Propriété d'aggrégation à la Engel
    • en différenciant la Loi de Walras aux couts, on a , où représente le montant du revenu dépensé dans le bien et est l'élasticité de la demande de par rapport au revenu
    • Selon telle loi on peut conclure qu’il existe certainement un bien normal.
  3. Propriété d'aggrégation à laCournot
    • en différenciant la Loi de Walras aux couts, et esclusant le prix du bien , et lui donnant une valeur égale à zéro (c'est-à-dire en gardant le revenu décidé) on a , où est l'élasticité de la demande du bien au prix du bien .
    • Selon telle Loi on peut conclure que si un bien est de Giffen, il doit avoir au moins un bien complément
  4. Homogènéité de degré 0
    • La demande marshallienne est homogène de degré 0 en , c'est-à-dire en multipliant les prix et le revenu par une valeur constante , la demande reste invariée. Cela parce que l’ensemble du budget reste invarié, donc la solution du problème est toujours la même.
    • Selon le théorème de Eulero sur les fonctions homogènes on déduit que .
  5. En correspondance du meilleur panier le traité marginal de substitution est égal au rapport entre les prix
    • En imposant la fonction lagrangienne on a , ce qui implique la condition du premier mandat : . en faisant le rapport entre la condition e la , on a : .
    • Sur un graphique la solution est le point de tangence entre les restrictions du budget et la courbe d'indifférence.
    • Cette propriété ne vaut pas en cas de solutions d'angle, c'est-à-dire quand les préférences ne sont pas exactement convexes (préférences linéaires ou semilinéaires) ou la fonction d'utilité n’est pas dérivable (par exemple utilité à la Leontief).
    • Le multiplicateur de Lagrange est communément appelé prix ombre et indique le changement dans la valeur d'utilité que l’on obtient en augmentant le revenu à disposition : c’est le cout, en termes d'utilité, soutenut pour respecter l'obligation.

La fonction d'utilité indirecte[modifier | modifier le wikicode]

En changeant les demandes marshalliennes dans la fonction d'utilité on obtient la fonction d'utilité indirecte . Cette fonction indique quelle est la valeur maximum d'utilité accessible pour un vecteur des prix certain et le revenu, et c’est :

  • non croissant dans les prix et non décroissant dans le budget.
  • homogénéité de degré zéro in , car la demande marshallienne est homogène de degré zéro.
  • presque convexe dans les prix, c'est-à-dire est convexe :
    • Donnés tous les deux dans le dit ensemble, on doit s'assurer que , l'assemblage linéaire des deux, soit dans l'ensemble. Pour démontrer cette affirmation, il suffit de démontrer que l’ensemble du budget impliqué par le vecteur des prix est contenu dans la somme des ensembles du budget impliqués par e , donc que n’importe quel panier accessible avec , est accessible aussi à ou à . Dans ce cas, cela démontrerait que l’on ne peut pas rejoindre une utilité majeure, donc sortir hors de l’ensemble que nous voulions démontrer être convexe.
    • Imaginons que, par assurdité, il existat tel que et , mais . En ce cas on aurait aussi : et , et donc aussi , et cela exclut que nous pouvons avoir .
    • Nous pouvons donc conclure que pour le consommateur il est préférable d’avoir des prix extremes que des prix intermédiaires.
  • prenons 'identité de Roy: , que nous démontrerons en suivant.

Pour avoir la fonction d'utilité directe en partant de la fonction d'utilité indirecte, il est nécessaire de réduire cette dernière en rapport au vecteur des prix, sous les contraintes du budget.

  • ayant un vecteur des prix tel que le meilleur panier soit et l'utilité indirecte soit .
  • Prenons maintenant un autre vecteur des prix tel que soit encore accessible. Dans ce cas ce dernier panier ne sera plus le meilleur, vu le changement des prix, et donc, .
  • La conclusion est que bloquant le panier et faisant varier les prix l'utilité augmentera, donc en réduisant l'utilité indirecte en rapport aux prix on obtient la fonction d'utilité directe.