Théorie classique du consommateur/Le problème du consommateur

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Au cours de la première leçon, nous avons vu comment en partant des préférences, nous arrivons à une fonction d'utilité qui les représente. Nous avons donc la capacité de représenter ce que le consommateur désire. Malgré tout, le consommateur n'a pas la possibilité d'obtenir tous les paniers du total de la consommation, mais seulement une part de ceux-ci, vu qu’il doit tenir compte, des contraintes budgétaires, de façon à ne pas dépenser plus que les ressources mises à sa disposition. La limite du budget est déterminée, donc, par la quantité des ressources mise à disposition, de la richesse $y\in \mathbb {R} _{+}$ et des prix qu’il doit payer pour obtenir les biens, $\mathbf {p} \in \mathbb {R} _{+}^{n}$. Nous pouvons donc identifier l’ensemble du budget comme $B=\left\{\mathbf {x} \in X|\mathbf {p} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\leq y\right\}$

Dans ces définitions il doit être clair que nous assumons que les prix sont linéaires, ce qui sous-entend que le prix d'un bien ne change pas avec la variation de la quantité consommée du bien lui-même ou des autres biens. Ce qui exclut , donc, les remises pour la quantité, les impots progressifs (dans les modèles avec taxes) et les différences entre les taux créditeurs et débiteurs (dans les modèles d'épargne).

Vu la fonction d'utilité $u\left(\mathbf {x} \right)$ et l'obligation du budget, le problème du consommateur est $\max _{\mathbf {x} \in B\left(\mathbf {p} ,y\right)}u\left(\mathbf {x} \right)$. La meilleure solution de ce problème est la demande marshallienne, que nous indiquerons ainsi $\mathbf {x} ^{m}\left(\mathbf {p} ,y\right)$: elle est bien sûr fonction des paramètres du problème.

• La solution du problème existe, parce que la fonction d'utilité est continue, nous l'avons traitée auparavant

premier chapitre , et l’ensemble du budget est bloqué, les prix étant rigoureusement positifs, car il n'existe pas de biens sans cout. Entr'autre la solution est unique, les prix étant linéaires, l’ensemble du budget est donc convexe, et les préférences sont rigoureusement convexes.

• Pour résoudre le problème on peut utiliser méthode des multiplicateurs de Lagrange quand la fonction d'utilité est différentiable presque concave.

Classification des biens

1. Si ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial y}}$ est:
   • positive, le bien $i$ est dit normal
   • negative, le bien $i$ est dit inférieur
   • nulle, le bien $i$ est dit non élastique au revenu
2. Si ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{i}}}$ est:
   • positive, le bien $i$ est dit de Giffen
   • negative, le bien $i$ est dit ordinaire
   • nulle, le bien $i$ est dit non élastique au propre prix
3. Si ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{j}}}$ est:
   • positive, les biens $i$ et $j$ sont dit sobstitutifs ou succédanés
   • negative, les biens $i$ et $j$ sont dit compléments
   • nulle, les biens $i$ et $j$ sont dit indépendents

Propriété de la demande marshallienne

1. Loi de Walras
   • La monotonie des préférences impliquent la non satisfaction locale, c'est-à-dire $\forall \mathbf {x} \in X,\epsilon >0,\exists \mathbf {y} \in X:|\mathbf {x} -\mathbf {y} |<\epsilon \land \mathbf {y} \succ \mathbf {x}$: dans chaque autour de $\mathbf {x}$ il existe un autre panier légèrement préféré.
   • La loi de Walras dit que le consommateur dépense entièrement toutes les ressources disponibles : $\mathbf {p} \mathbf {x} ^{m}\left(\mathbf {p} ,y\right)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{m}=y\ \forall \mathbf {p} ,y$
2. Propriété d'aggrégation à la Engel
   • en différenciant la Loi de Walras aux coûts, on a $\sum _{i=1}^{N}p_{i}dx_{i}^{m}=dy\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial y}}=1\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}b_{i}(\mathbf {p} ,y)\epsilon _{i,y}(\mathbf {p} ,y)=1$, où $b_{i}(\mathbf {p} ,y)$ représente le montant du revenu dépensé dans le bien $i$ et $\epsilon _{i,y}(\mathbf {p} ,y)$ est l'élasticité de la demande de $x_{i}$ par rapport au revenu
   • Selon telle loi on peut conclure qu’il existe certainement un bien normal.
3. Propriété d'aggrégation à la Cournot
   • en différenciant la Loi de Walras aux couts, et esclusant le prix du bien $k$, et lui donnant une valeur égale à zéro (c'est-à-dire en gardant le revenu décidé) on a $\sum _{i=1}^{N}p_{i}dx_{i}^{m}+x_{k}^{m}dp_{k}=0\Rightarrow x_{k}^{m}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{k}}}\Rightarrow b_{k}(\mathbf {p} ,y)=-\sum _{i=1}^{N}b_{i}(\mathbf {p} ,y)\epsilon _{i,k}(\mathbf {p} ,y)$, où $\epsilon _{i,k}(\mathbf {p} ,y)$ est l'élasticité de la demande du bien $i$ au prix du bien $k$.
   • Selon telle Loi on peut conclure que si un bien est de Giffen, il doit avoir au moins un bien complément
4. Homogènéité de degré 0
   • La demande marshallienne est homogène de degré 0 en $\{\mathbf {p} ,y\}$, c'est-à-dire en multipliant les prix et le revenu par une valeur constante $\lambda$, la demande reste invariée. Cela parce que l’ensemble du budget reste invarié, donc la solution du problème est toujours la même.
   • Selon le théorème de Eulero sur les fonctions homogènes on déduit que $\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}y=0\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}\epsilon _{k,i}+\epsilon _{k,y}=0$.
5. En correspondance du meilleur panier le traité marginal de substitution est égal au rapport entre les prix
   • En imposant la fonction lagrangienne on a ${\mathcal {L}}\equiv u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \mathbf {x} -y)$, ce qui implique la condition du premier mandat : ${\frac {\partial u(\mathbf {x} ^{m})}{\partial x_{i}}}=u'_{i}=\lambda p_{i}\forall i$. en faisant le rapport entre la condition $i$ e la $j$, on a : $SMS_{i,j}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}$.
   • Sur un graphique la solution est le point de tangence entre les restrictions du budget et la courbe d'indifférence.
   • Cette propriété ne vaut pas en cas de solutions d'angle, c'est-à-dire quand les préférences ne sont pas exactement convexes (préférences linéaires ou semilinéaires) ou la fonction d'utilité n’est pas dérivable (par exemple utilité à la Leontief).
   • Le multiplicateur de Lagrange est communément appelé prix ombre et indique le changement dans la valeur d'utilité que l’on obtient en augmentant le revenu à disposition : c’est le cout, en termes d'utilité, soutenut pour respecter l'obligation.

La fonction d'utilité indirecte

En changeant les demandes marshalliennes dans la fonction d'utilité on obtient la fonction d'utilité indirecte $v(\mathbf {p} ,y)=u(\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y))$. Cette fonction indique quelle est la valeur maximum d'utilité accessible pour un vecteur des prix certain et le revenu, et c’est :

• non croissant dans les prix et non décroissant dans le budget.
• homogénéité de degré zéro en $\{\mathbf {p} ,y\}$, car la demande marshallienne est homogène de degré zéro.
• presque convexe dans les prix, c'est-à-dire $\{\mathbf {p} |v(\mathbf {p} ,y)\leq k\}$ est convexe $\forall k$:
  • Donnés $\mathbf {p} ,\mathbf {p} '$ tous les deux dans le dit ensemble, on doit s'assurer que $\mathbf {p} ''=\lambda \mathbf {p} +(1-\lambda )\mathbf {p} '$, l'assemblage linéaire des deux, soit dans l'ensemble. Pour démontrer cette affirmation, il suffit de démontrer que l’ensemble du budget impliqué par le vecteur des prix $\mathbf {p} ''$ est contenu dans la somme des ensembles du budget impliqués par $\ \mathbf {p}$ e $\mathbf {p} '$, donc que n’importe quel panier accessible avec $\mathbf {p} ''$, est accessible aussi à $\ \mathbf {p}$ ou à $\mathbf {p} '$. Dans ce cas, cela démontrerait que l’on ne peut pas rejoindre une utilité majeure, donc sortir hors de l’ensemble que nous voulions démontrer être convexe.
  • Imaginons que, par assurdité, il existat $\mathbf {x}$ tel que $\mathbf {p} \mathbf {x} >y$ et $\mathbf {p} '\mathbf {x} >y$, mais $\mathbf {p} ''\mathbf {x} \leq y$. En ce cas on aurait aussi : $\lambda \mathbf {p} \mathbf {x} >\lambda y$ et $(1-\lambda )\mathbf {p} '\mathbf {x} >(1-\lambda )y$, et donc aussi $\lambda \mathbf {p} \mathbf {x} +(1-\lambda )\mathbf {p} '\mathbf {x} >y$, et cela exclut que nous pouvons avoir $\mathbf {p} ''\mathbf {x} \leq y$.
  • Nous pouvons donc conclure que pour le consommateur il est préférable d’avoir des prix extremes que des prix intermédiaires.
• prenons 'identité de Roy: $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$, que nous démontrerons en suivant.

Pour avoir la fonction d'utilité directe en partant de la fonction d'utilité indirecte, il est nécessaire de réduire cette dernière en rapport au vecteur des prix, sous les contraintes du budget.

• ayant un vecteur des prix $\mathbf {p}$ tel que le meilleur panier soit $\mathbf {x}$ et l'utilité indirecte soit $v(\mathbf {p} ,y)$.
• Prenons maintenant un autre vecteur des prix $\mathbf {p} '\neq \mathbf {p}$ tel que $\mathbf {x}$ soit encore accessible. Dans ce cas ce dernier panier ne sera plus le meilleur, vu le changement des prix, et donc, $u(\mathbf {x} ')=v(\mathbf {p} ',y)\geq v(\mathbf {p} ,y)=u(\mathbf {x} )$.
• La conclusion est que bloquant le panier et faisant varier les prix l'utilité augmentera, donc en réduisant l'utilité indirecte en rapport aux prix on obtient la fonction d'utilité directe.