Théorème de l'angle inscrit/Version relative aux angles orientés

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Avec des angles orientés, le théorème de l'angle au centre et son corollaire immédiat, le théorème de l'angle inscrit, sont plus simples, et admettent des réciproques donc s'énoncent sous la forme d'équivalences.

Théorème de l'angle au centre

Début d’un théorème

Théorème

Soient $A$, $B$ et $M$ trois points distincts et Γ un cercle de centre $O$ passant par $A$ et $B$.

Le point $M$ appartient à Γ si et seulement si :

$({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2\,({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }$.

Fin du théorème

Démonstration

Supposons que $M\in \Gamma$. En utilisant la relation de Chasles sur les angles orientés et le fait que les triangles $OAM$ et $OBM$ sont isocèles, on a (modulo $2\pi$) :

${\begin{aligned}({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})&\equiv ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OM}})+({\overrightarrow {OM}},{\overrightarrow {OB}})\\&\equiv \pi -2\,({\overrightarrow {MO}},{\overrightarrow {MA}})+\pi -2\,({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MO}})\\&=2\pi -2\left(({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MO}})+({\overrightarrow {MO}},{\overrightarrow {MA}})\right)\\&\equiv -2\,({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MA}})\\&\equiv 2\,({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}}).\end{aligned}}$

Réciproquement, supposons que $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }$, ce qui empêche les points $A$, $B$ et $M$ d'être alignés (l'angle $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})$ n'est jamais nul). On peut donc considérer le centre $O'$ du cercle circonscrit au triangle $MAB$ et utiliser le sens direct de la propriété :

$({\overrightarrow {O'A}},{\overrightarrow {O'B}})\equiv 2\,({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }$.

On obtient ainsi :

$({\overrightarrow {O'A}},{\overrightarrow {O'B}})\equiv ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\mod {2\pi }$.

Les triangles isocèles $OAB$ et $O'AB$ ayant même base et même angle au sommet, ils sont confondus et $O'=O$. Le point $M$ est donc bien sur le cercle Γ.

 

Théorème de l'angle inscrit

Corollaire

Soit $AMB$ un triangle non plat. Un point $N$ distinct de $A$ et $B$ appartient au cercle circonscrit à ce triangle si et seulement si :

$({\overrightarrow {NA}},{\overrightarrow {NB}})\equiv ({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod \pi$.