Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre
Théorème de l'angle au centre[modifier | modifier le wikicode]
Énoncé[modifier | modifier le wikicode]
La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit est aigu, donc l'angle au centre saillant (Fig. 1), l'autre où l'angle inscrit est obtus, donc l'angle au centre rentrant (Fig. 2).
Démonstration[modifier | modifier le wikicode]
On adopte les notations suivantes :
- C est un cercle de centre O, passant par deux points A et B, donc découpé en deux arcs Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \overset{\displaystyle\frown}{AB}} ;
- M est un point de C, distinct de A et B, qui détermine donc un angle inscrit, noté Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AMB}} ;
- l'angle au centre qui intercepte le même arc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \overset{\displaystyle\frown}{AB}} que cet angle inscrit est noté Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOB}} .
Il s'agit alors de démontrer que
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOB}=2\widehat{AMB}} .
Notons D le point de C diamétralement opposé à M et considérons trois cas, correspondant aux trois figures ci-contre :
- (a) D est égal à A ou B, par exemple à B ;
- (b) les cordes MA et MB sont de part et d’autre du diamètre MD ;
- (c) MA et MB sont du même côté de MD.
Cas (a)[modifier | modifier le wikicode]
Montrons que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOD}=2\widehat{AMD}} .
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{MOA}+\widehat{AOD}=180^\circ} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AMO}=\widehat{AMD}} (car O appartient au segment [MD]).
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{MOA}+2\widehat{AMO}=180^\circ} (car le triangle MOA est isocèle en O).
donc
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOD}=180^\circ-\widehat{MOA}=2\widehat{AMO}=2\widehat{AMD}} .
Cas (b)[modifier | modifier le wikicode]
D'après le cas (a), Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOD}=2\widehat{AMD}} et de même, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{DOB}=2\widehat{DMB}} donc par somme : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AOB}=2\widehat{AMB}} .
Cas (c)[modifier | modifier le wikicode]
Même raisonnement que dans le cas (b), en remplaçant « somme » par « différence ».
Théorème de l'angle inscrit[modifier | modifier le wikicode]
Le théorème de l'angle au centre a pour corollaire immédiat celui de l'angle inscrit :
Deux angles inscrits dans un cercle et interceptant le même arc ont même mesure.
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \widehat{AMB}=\frac12\widehat{AOB}=\widehat{ANB}} (Fig. 1).
