Théorème de Pythagore/Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle

**Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle**
Leçon : Théorème de Pythagore

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Théorème de Pythagore

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Théorème de Pythagore/Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans un triangle rectangle, quand on connaît les longueurs de deux côtés, l'égalité de Pythagore permet de calculer la longueur du troisième côté.

Cas numéro 1 : calculer la longueur de l'hypoténuse.

Exemple

IJK est un triangle rectangle en I tel que IJ = 3 cm et IK = 4 cm. Calculer la longueur JK.

Le triangle IJK est rectangle en I. D'après le théorème de Pythagore :

KJ² = IK² + IJ²
KJ² = 4² + 3²
KJ² = 25
KJ = ${\sqrt {25}}$ = 5 cm.

Exemple de problèmes à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

Un smartphone a pour dimensions 8,9 cm sur 5 cm. Quelle est la longueur de sa diagonale?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée au millimètre près.

Conseil

Lorsqu'il n'y a pas de figure dans un énoncé de géométrie, on peut :

Faire une figure à main levée pour schématiser le problème et pour aider à le visualiser.
Nommer des points sur la figure, indiquer les dimensions connues et coder-la (angle droit, longueurs égales, etc.).

Solution :

On va modéliser le smartphone par un rectangle ABCD et on cherche la longueur AC. Le triangle ADC est rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore :

AC² = DA² + DC²
AC² = 8,9² + 5²
AC² = 79, 21 + 25
AC² = 104, 21
AC = ${\sqrt {104.21}}$ cm --> valeur exacte
AC ≃ 10, 2083
AC ≃ 10,2 cm --> valeur approchée au mm près.

Conclusion

La diagonale du smartphone mesure environ 10,2 cm.

Cas numéro 2 : calculer la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit.

Exemple de problème à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 3 cm et FG = 6 cm. Calculer la longueur EF.

Donner la valeur exacte et une valeur approchée au dixième de cm.

Solution :

On écrit l'égalité de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E :

GF² = EF² + EG²
6² = EF² + 3²
36 = EF² + 3²
EF² + 9 = 36
EF² = 36 - 9
EF² = 27
EF = ${\sqrt {27}}$ cm --> valeur exacte
EF ≃ 5,2 cm --> valeur approchée au dixième de cm.

Conclusion

La longueur EF mesure environ 5,2 cm.

Exemple de problème à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

Un massif de fleurs a la forme d’un triangle rectangle et le jardinier veut l’entourer d’une clôture. Au moment de l’acheter, il s’aperçoit qu’il a oublié de mesurer un des côtés de l’angle droit. Les deux seules mesures dont il dispose sont, en mètres : 6,75 et 10,59.

Aidez-le à calculer la longueur de la clôture qu’il doit acheter.

Conseil

Faire un schéma!

Solution :

On fait une figure à main levée du massif de fleurs (qui a la forme d'un triangle rectangle) et on nomme ses sommets.

1) On cherche à calculer la longueur manquante, c'est-à-dire la longueur AB (qui est un côté de l'angle droit).

Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :

BC² = AB² + AC²
10,59² = 6,75² + AC²
112, 1481 = 45,5625 + AC²
AC² = 112, 1481 - 45,5625
AC² = 66, 5856
AC = ${\sqrt {66,5856}}$
AC = 8,16 m.

2) On calcule la longueur de la clôture qu’il doit acheter qui est égale au périmètre du triangle ABC :

P(ABC) = AB + BC + AC = 8,16 + 10,59 + 6, 75 = 25,5 m.

Conclusion

Le jardinier doit acheter 25,5 m de clôture.