Techniques de calcul mental/Calcul d'un produit : a × b

**Calcul d'un produit : a × b**
Leçon : Techniques de calcul mental

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Calcul d'un produit : 45 × 34 (exemple)
Chap. suiv. :	Calcul d'un quotient : a ÷ b

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Techniques de calcul mental : Calcul d'un produit : a × b
Techniques de calcul mental/Calcul d'un produit : a × b », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sur les autres projets Wikimedia :

« Faire une multiplication à la main » sur Wikibooks

Multiplier par 10

Une multiplication par 10 consiste uniquement à rajouter un 0 à droite du nombre ; c’est donc une opération très élémentaire (s'il s'agit d'un nombre décimal, on décale la virgule d'une position vers la droite).

Multiplier par 2

C'est un cas particulier de multiplication, où l’on peut travailler chiffre à chiffre : si retenue il y a, c’est forcément 1, elle n'impacte que le dernier chiffre trouvé et il y a peu de risque de retenue en cascade. Cela voudrait dire qu'on est parti d'un nombre constitué de plusieurs chiffres 9. On calcule de gauche à droite, en commençant par les chiffres représentant les puissances élevées, et en incorporant progressivement les retenues si elles apparaissent.

Exemple :

2 × 16817 =

16817

26817 (multiplication du 1, pas de retenue, je pose 2)

32817 (multiplication du 6, =12, une retenue : le 2 devient 3, je pose le 2 de 12 ce qui donne 32)

33617 (multiplication du 8, =16, une retenue : le 32 devient 33, je pose le 6 de 16 ce qui donne 336)

33627 (multiplication du 1,=2 pas de retenue, 3362)

33634 multiplication du 7, =14, une retenue : le 3362 devient 3363, je pose le 4 de 14, c’est fini).

Multiplication par 5

Il s'agit d'une multiplication par 10 suivie d'une division par 2 ; donc pour multiplier par 5, il suffit de savoir diviser par 2.

Diviser par 2

Il faut lire le nombre de gauche à droite, et diviser les chiffres par 2, arrondi à l'entier inférieur, puis ajouter 5 au résultat de la division par 2 du chiffre suivant si le chiffre qu'on a divisé était impair.

Par exemple :

176 × 5 = 1760 ÷ 2

1 divisé par 2 = 0 mais comme 1 est impair on ajoute 5 au résultat suivant

7 divisé par 2 = 3.5 on garde 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente donc 3+5 = 8

6 divisé par 2 = 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente car 7 est impair donc 3+5 = 8

0 divisé par 2 = 0

In fine, le résultat est 0880 soit 176x5 = 880

Multiplication par 9

Il suffit de remarquer que 9 = 10 – 1, donc pour multiplier par 9, il suffit de multiplier le nombre par 10, et de le soustraire au résultat.

Par exemple, 9 × 27 = 27 × 10 – 27 = 270 – 27 = 243. Il faut donc savoir soustraire…

Autre technique : avec les doigts de la main. On place ses deux mains face à soi et on replie le doigt que l’on veut multiplier par 9.

Exemple :

9 x 4 ; on replie le 4^e doigt en partant de gauche. il reste 3 doigts à gauche et 6 à droite

9 x 4 = 36

9 x 7 ; on plie le 7^e doigt et on a 6 et 3

donc 9 x 7 = 63

Autre technique pour multiplier par 9 un nombre compris entre 10 et 99 :

On additionne 1 au chiffre des dizaines et on soustrait le résultat au nombre à multiplier,
On ajoute un 0 à la suite du résultat de l'étape 1,
On soustrait le chiffre des unités à 10 et on additionne le résultat au nombre que nous avons noté à l'étape 2.

Exemple :

9 x 27

On a 2 comme dizaine. On lui additionne 1 : 2 + 1 = 3. On soustrait donc 3 à 27 : 27 - 3 = 24. On note 24,
On ajoute 0 à la suite de 24 : 240,
On a 7 comme unité. On le soustrait à 10 : 10 - 7 = 3. On additionne donc 3 au nombre noté : 240 + 3 = 243.

9 x 27 égale donc 243.

Multiplication : {6 – 10} × {6 – 10}

Cette technique permet de multiplier un nombre entre 6 et 10 par un autre entre 6 et 10. Elle utilise les dix doigts des deux mains, face à face :

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

1/ Premier exemple : 9 × 6

haut :
      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
bas :
--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 4 + 1 = 5 dizaines) :

--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--

Les unités (on multiplie le nombre de doigts en haut à gauche par ceux en haut à droite, soit 1 x 4 = 4 unités) :

      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--

résultat : 9 × 6 = 50 + (1 x 4) = 54

2/ Second exemple : 6 × 8

haut :
-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--
bas :
--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 1 + 3 = 4 dizaines) :

--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les unités (on multiplie le nombre de doigts du haut à gauche par ceux en haut à droite, 4 x 2 = 8 unités) :

-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--

résultat : 6 × 8 = 40 + (4 x 2) = 48

3/ Algébriquement : X × Y

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Le fonctionnement : chaque doigt représente un chiffre (entre 6 et 10). On joint les deux doigts dont on veut multiplier les chiffres correspondants (x et y). Les doigts en bas indiquent les dizaines, on en a (x – 5) + (y – 5). Les doigts à gauche en haut indiquent (10 – x) et ceux à droite en haut (10 – x).

Et :
  [(x – 5) + (y – 5)] × 10 + (10 – x) × (10 – y)
= (x + y - 10) × 10 + (100 - 10y - 10x + x × y) 
= 10x + 10y - 100 + 100 - 10y - 10x + x × y
= x × y

Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités

Pour calculer un tel carré, il suffit de calculer le produit du nombre qu'on forme en effaçant ce chiffre « 5 » par le nombre entier suivant et de faire suivre l'écriture obtenue des deux chiffres « 25 ».

Par exemple pour calculer 85², on calcule le produit 8 × 9 = 72 et on trouve ainsi que 85² = 7 225

Calcul du produit de deux nombres entiers dans la même dizaine et dont les chiffres des unités se complètent

Commencer par multiplier les deux chiffres des unités entre eux puis faire précéder l'écriture obtenue, au niveau des centaines, par l'écriture du produit du nombre commun dans les dizaines par le nombre entier suivant.

Exemples :

1) Pour calculer 57 × 53, on calcule 7 × 3 = 21 et 5 × 6 = 30. On trouve alors 57 × 53 = 3 021

2) Pour calculer 71 × 79, on calcule 1 × 9 = 9 et 7 × 8 = 56. On trouve alors 71 × 79 = 5 609

Cette technique est une généralisation de la technique Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités. Sa validité provient du calcul suivant, où $a$ désigne le nombre entier commun de dizaines et $b$ l'une des deux unités complémentaires :

$(10a+b)(10a+(10-b))=100a^{2}+10a(b+10-b)+b(10-b)=100a(a+1)+b(10-b)$

Calcul du produit de deux entiers dans la même dizaine

Pour cela il suffit de prendre le 1^er nombre et d'y ajouter le chiffre des unités de l'autre puis de multiplier le résultat par les dizaines du second nombre puis d'additionner à ce résultat la multiplication des unités des deux nombres.

Exemples :

1) Pour calculer 33 × 32, on calcule 33 + 2 = 35 puis 35 × 30 = 1050 (passer par 35 × 3 × 10) et on ajoute 3 × 2 soit 1050 + 6 = 1056

2) Pour calculer 47 × 44, on calcule 47 + 4 = 51 puis 51 × 4 × 10 = 2040 et on ajoute 7 × 4 = 28 soit 2040 + 28 = 2068

Multiplication d'un nombre par 11

Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 11

La méthode à utiliser pour calculer ce genre de produit est la suivante : Additionner le premier chiffre et le second chiffre puis insérer le résultat de cette somme entre les deux chiffres initiaux. Ceci est valable si la somme est inférieure à 10.

Exemples :

17 × 11 = 1 (1+7) 7 = 187

35 × 11 = 3 (3+5) 5 = 385

Si la somme des deux chiffres est supérieure à 10, on place le chiffre des unités de la somme entre les deux chiffres initiaux et on ajoute 1 aux centaines.

Exemples :

58 × 11 = 5 (5+8) 8 = 5 (13) 8 = (5+1) 3 8 = 638

93 × 11 = 9 (9+3) 3 = 9 (12) 3 = (9+1) 2 3 = 1023

Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 11

La technique est à peu près la même que pour les nombres à deux chiffres :

On garde le premier chiffre,
On ajoute, juste après, la somme des 2 premiers chiffres qui doit être inférieure à 10,
On ajoute la somme des 2 derniers chiffres qui doit être inférieure à 10,
On ajoute enfin le dernier chiffre.

Ainsi on a 123 x 11 = 1353, avec le premier chiffre 1, suivi de 3 (1+2 =3), puis 5 (2+3=5), puis le dernier chiffre 3.

Deuxième technique avec toujours le nombre 123:

1) On conserve toujours le premier chiffre et le dernier chiffre (c'est-à-dire le 1 et le 3) du nombre 123 qui maintiendront leur place initiale pour le résultat final.

2) On garde les deux premiers chiffres (12) du nombre 123 et les deux derniers chiffres (23) du nombre 123 pour les additionner: 12+23=35

3) Résultat final donne le 1 3 et on ajoute au milieu la somme qu'on a trouvé ci-dessus (35) cela donne 1353 donc 123 x 11 = 1353

Remarquons que cet exemple ne diffère pas trop du premier, l'addition chiffre à chiffre étant simplement transformée en addition de nombres à deux chiffres.

Si une des deux additions donne un résultat supérieur à 10, il est plus facile de commencer à l’envers :

On garde le dernier chiffre,
On ajoute juste avant la somme des 2 derniers chiffres,
On ajoute aussi avant la somme des 2 premiers chiffres incrémentée de 1 si l'opération 2 a donné un résultat supérieur à 10.
On ajoute enfin le premier chiffre incrémenté de 1 si l'opération 3 a donné un résultat supérieur à 10.

Modulo 11 d'un nombre à 3 chiffres

Voici une technique pour calculer le modulo 11 (reste de la division par 11) d'un nombre à trois chiffres:

On additionne le premier et le dernier chiffre,
On soustrait le chiffre central du résultat de l'opération précédente,
Si le résultat de la soustraction est positif, on a le modulo, s'il est négatif, on lui ajoute 11 pour avoir le modulo.

Exemples :

652 modulo 11: 6 + 2 - 5 = 3

183 module 11: 1 + 3 - 8 = -4, -4 + 11 = 7

Cas général: le modulo 11 d'un nombre correspond à la somme alternée des chiffres de ce nombre.

Multiplication de deux nombres entiers compris entre 10 et 19

Pour multiplier les deux nombres, la technique est la suivante :

on additionne le premier nombre et les unités du deuxième nombre puis on ajoute un zéro (on multiplie par 10) ;
on additionne au nombre obtenu le produit des unités des deux nombres.

Exemple avec 17 × 18 :

17 + 8 = 25 , on ajoute 0, ce qui donne 250
7 × 8 = 56 et 250 + 56 = 306, donc 17 × 18 = 306

Exemple avec 14 × 17 :

14 + 7 = 21, on ajoute 0, ce qui donne 210
4 × 7 = 28 et 210 + 28 = 238, donc 14 × 17 = 238

Démonstration :

soient A et B deux nombres entre 10 et 19
on note a et b deux chiffres (entre 0 et 9) tel que A = 10 + a et B = 10 + b
on cherche le résultat de A × B, qui s'écrit également (10 + a) × (10 + b)
en développant, on obtient : 10 × 10 + 10 × a + 10 × b + a × b
en factorisant un peu, on obtient 10 × (10 + a + b) + a × b
et donc 10 × (A + b) + a × b

Méthode du train inverse

Soit à multiplier, par exemple, 709801 (multiplicande) par 58 (multiplicateur).

L'étape préliminaire est d'écrire le multiplicateur dans l’ordre inverse, 58 devient 85. 
La méthode consiste ensuite à faire glisser le multiplicateur retourné le long des chiffres du multiplicande, comme un train longeant un quai, puis de faire la somme des produits.

Étape 1 
   709801
  85       on calcule 5x7 = 35,        on conserve : 35  <-- ligne d'ordre 'zéro'

Étape 2
   709801
   85      on calcule 8x7 + 5x0 = 56,  on conserve : 356
                                                      5  <-- ligne d'ordre 'un' (retenues des dizaines - 56 est écrit en diagonal)
Étape 3
   709801
    85     on calcule 8x0 + 5x9 = 45,  on conserve : 3565
                                                      54  
Étape 4
   709801
     85    on calcule 8x9 + 5x8 = 112, on conserve : 35652
                                                      541  
                                                       1   <-- ligne d'ordre 'deux' (retenues des centaines - 112 est écrit en diagonal)
Étape 5
   709801
      85   on calcule 8x8 + 5x0 = 64,  on conserve : 356524
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 6
   709801
       85  on calcule 8x0 + 5x1 = 5,   on conserve : 3565245
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 7
   709801
        85 on calcule 8x1 = 8,         on conserve : 35652458
                                                      5416  
                                                       1   
Dernière étape : on additionne les lignes des retenues ce qui donne :
   35652458
  + 5416  
  +  1   
  =41168458

Remarque : un certain nombre de méthodes particulières de calcul mental s'expliquent par cette méthode générale (qui n'est qu'une autre façon de poser la multiplication). Par exemple la multiplication par '11' : on remarque immédiatement que la multiplication par '11' s'effectue en conservant le premier et le dernier chiffres et les chiffres intermédiaires sont la somme de deux chiffres successifs.

Une méthode pour le calcul d'un carré

L'identité remarquable $a^{2}-b^{2}=(a+b)\times (a-b)$ nous permet d'écrire $a^{2}=(a+b)\times (a-b)+b^{2}$ . Avec cette formule on réduit le calcul du carré à une multiplication simple (par exemple un multiple de 10) et à l'addition d'un carré bien plus petit.

Exemple

$89^{2}=(89+11)\times (89-11)+11^{2}$ = $100\times 78+11^{2}$ = 7800 + 121 = 7921

Exemple

$57^{2}=(57-7)\times (57+7)+7^{2}$ = $50\times 64+7^{2}$ = 3200 + 49 = 3249

Utiliser les carrés

On peut utiliser les carrés des entiers, pour calculer des produits de petits nombres. Par exemple, pour calculer 13 × 17, on peut remarquer que l’on est en train de calculer (15 – 2) × (15 + 2), donc 15² − 2², d’après l'une des identités remarquables (cf § précédent), c'est-à-dire 225 – 4 = 221, ce qui donne le résultat très rapidement, puisque l'opération devient une simple soustraction.

Cela demande néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés :

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

Il faut néanmoins remarquer que si on ne connaît que certains de ces carrés, les identités remarquables permettent de calculer les autres facilement…

Remodeler les entiers

Le calcul à effectuer ne fait pas forcément intervenir des nombres qui se prêtent aux techniques précédentes. Néanmoins, on peut forcer le passage de diverses manières :

décaler le problème : pour calculer 13 × 18, on regrette de ne pas avoir à calculer 13 × 17, où l’on dispose de la technique des carrés : il suffit de voir 13 × 18 comme 13 × 17 + 13, et on a : 225 – 4 + 13 = 234 ;
factoriser version 1 : pour calculer 27 × 72, il suffit de se débarrasser des multiplications par 2 (faciles) qui sont cachées derrière : 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 9, donc il suffit de calculer 27 × 9 puis multiplier par 2 trois fois de suite :

27 × 9 = 243, puis 243 × 2 = 486, 486 × 2 = 972, et finalement 972 × 2 = 1944.

factoriser version 2 : pour calculer 13 × 18, on factorise une fois et on obtient 10 × 18 + 3 × 18 puis on recommence pour chaque multiplication

10 × 18 = 10 × 10 + 10 × 8 = 100 + 80 = 180 et 3 × 18 = 3 × 10 + 3 × 8 = 30 + 24 = 54 ; au final on a 180 + 54 = 234 (cette technique nécessite uniquement d’avoir de la mémoire et marche pour n’importe quel type de multiplication).

Multiplication croisée

Cette technique est très répandue dans les compétitions de calcul mental. En voici un exemple d’utilisation :

Soit à multiplier 8397 par 5621. On écrit les deux nombres l'un au-dessus de l'autre.

La première colonne montre un schéma correspondant à l'étape de calcul. La seconde colonne montre le calcul correspondant. La troisième colonne indique le nombre posé (écrit) et la quatrième colonne montre la retenue.

Calcul	Posé	Retenu
$(7\times 1)=7$	7	0
$(9\times 1)+(7\times 2)+0=23$	3	2
$(3\times 1)+(9\times 2)+(7\times 6)+2=65$	5	6
$(8\times 1)+(3\times 2)+(9\times 6)+(7\times 5)+6=109$	9	10
$(8\times 2)+(3\times 6)+(9\times 5)+10=89$	9	8
$(8\times 6)+(3\times 5)+8=71$	1	7
$(8\times 5)+7=47$	7	4

Remarque : dans les étapes de calcul, la retenue peut parfois être supérieure à 9.

On écrit la dernière retenue puis tous les résultats posés dans l’ordre inverse de celui où ils ont été calculés : soit : 4, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 7.

$8397\times 5621=47199537$ .

Vérifier son résultat

Ordre de grandeur

Si en multipliant deux nombres plus petits que 100 on trouve plus de 10 000, il y a assurément un problème ! Ces considérations sont très empiriques et ne repèrent que les erreurs grossières, mais c’est la méthode la plus rapide.

Ainsi la relativité, art complexe s'il en est, est là pour nous raisonner.

Chiffre des unités

Si vous multipliez les chiffres des unités de a et b, le chiffre des unités du résultat est le chiffre des unités de a × b ; exemple : 27 × 72 doit finir par un 4. Cette vérification permet de vérifier un chiffre avec certitude.

Multiplication par 9

Si vous multipliez un nombre entier par 9, la somme des chiffres composant le résultat est elle-aussi un multiple de 9 ; exemple : 72 × 9 = 648 → 6 + 4 + 8 = 18 → 18 est un multiple de 9.

Techniques de calcul mental

Calcul d'un produit : 45 × 34 (exemple)

Calcul d'un quotient : a ÷ b