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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Systèmes sans paramètreSystèmes de Cramer/Exercices/Systèmes sans paramètre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les systèmes :
(
S
1
)
{
x
+
y
−
z
=
0
x
−
y
=
0
x
+
4
y
+
z
=
0
(
S
2
)
{
x
+
y
+
2
z
=
5
x
−
y
−
z
=
1
x
+
z
=
3
(
S
3
)
{
2
x
+
y
+
z
=
3
3
x
−
y
−
2
z
=
0
x
+
y
−
z
=
−
2
x
+
2
y
+
z
=
1
{\displaystyle (S_{1}){\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\x+4y+z&=0\end{cases}}\qquad (S_{2}){\begin{cases}x+y+2z&=5\\x-y-z&=1\\x+z&=3\end{cases}}\qquad (S_{3}){\begin{cases}2x+y+z&=3\\3x-y-2z&=0\\x+y-z&=-2\\x+2y+z&=1\end{cases}}}
(
S
4
)
{
x
+
y
+
z
+
t
=
1
x
−
y
+
2
z
−
3
t
=
2
2
x
+
4
z
+
4
t
=
3
2
x
+
2
y
+
3
z
+
8
t
=
2
5
x
+
3
y
+
9
z
+
19
t
=
6
(
S
5
)
{
x
−
y
+
z
+
t
=
5
2
x
+
3
y
+
4
z
+
5
t
=
8
3
x
+
y
−
z
+
t
=
7.
{\displaystyle (S_{4}){\begin{cases}x+y+z+t&=1\\x-y+2z-3t&=2\\2x+4z+4t&=3\\2x+2y+3z+8t&=2\\5x+3y+9z+19t&=6\end{cases}}\qquad (S_{5}){\begin{cases}x-y+z+t&=5\\2x+3y+4z+5t&=8\\3x+y-z+t&=7.\end{cases}}}
Solution
(
S
1
)
⇔
{
y
=
x
2
x
−
z
=
0
5
x
+
z
=
0
⇔
{
y
=
x
z
=
2
x
5
x
+
2
x
=
0
⇔
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (S_{1})\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=x\\2x-z&=0\\5x+z&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=x\\z&=2x\\5x+2x&=0\end{cases}}\Leftrightarrow (x,y,z)=(0,0,0)}
(
S
2
)
⇔
{
z
=
3
−
x
x
+
y
+
2
(
3
−
x
)
=
5
x
−
y
−
(
3
−
x
)
=
1
⇔
{
z
=
3
−
x
−
x
+
y
=
−
1
2
x
−
y
=
4
⇔
{
z
=
3
−
x
y
=
x
−
1
x
=
3
⇔
(
x
,
y
,
z
)
=
(
3
,
2
,
0
)
{\displaystyle (S_{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\x+y+2(3-x)&=5\\x-y-(3-x)&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\-x+y&=-1\\2x-y&=4\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\y&=x-1\\x&=3\end{cases}}\Leftrightarrow (x,y,z)=(3,2,0)}
(Donc ces deux systèmes sont de Cramer.)
(
S
3
)
⇔
{
x
+
y
−
z
=
−
2
2
x
+
y
+
z
=
3
3
x
−
y
−
2
z
=
0
x
+
2
y
+
z
=
1
⇔
{
x
+
y
−
z
=
−
2
−
y
+
3
z
=
7
−
4
y
+
z
=
6
y
+
2
z
=
3
⇔
{
x
+
y
−
z
=
−
2
−
y
+
3
z
=
7
−
11
z
=
−
22
5
z
=
10
⇔
z
=
2
,
y
=
−
1
,
x
=
1
{\displaystyle (S_{3})\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\2x+y+z&=3\\3x-y-2z&=0\\x+2y+z&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\-y+3z&=7\\-4y+z&=6\\y+2z&=3\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\-y+3z&=7\\-11z&=-22\\5z&=10\end{cases}}\Leftrightarrow z=2,\;y=-1,\;x=1}
(
(
S
3
)
{\displaystyle (S_{3})}
(
S
4
)
⇔
{
x
+
y
+
z
+
t
=
1
−
2
y
+
z
−
4
t
=
1
−
2
y
+
2
z
+
2
t
=
1
z
+
6
t
=
0
−
2
y
+
4
z
+
14
t
=
1
⇔
{
x
+
y
+
z
+
t
=
1
−
2
y
+
z
−
4
t
=
1
z
+
6
t
=
0
z
+
6
t
=
0
3
z
+
18
t
=
0
⇔
{
z
=
−
6
t
y
=
−
5
t
−
1
2
x
=
10
t
+
3
2
.
{\displaystyle (S_{4})\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z+t&=1\\-2y+z-4t&=1\\-2y+2z+2t&=1\\z+6t&=0\\-2y+4z+14t&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z+t&=1\\-2y+z-4t&=1\\z+6t&=0\\z+6t&=0\\3z+18t&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=-6t\\y&=-5t-{\frac {1}{2}}\\x&=10t+{\frac {3}{2}}.\end{cases}}}
(
S
5
)
⇔
{
x
−
y
+
z
+
t
=
5
5
y
+
2
z
+
3
t
=
−
2
4
y
−
4
z
−
2
t
=
−
8
⇔
{
x
−
y
+
z
+
t
=
5
5
y
+
2
z
+
3
t
=
−
2
−
14
y
−
11
t
=
−
16
⇔
{
z
=
16
−
11
t
14
y
=
−
2
−
2
z
−
3
t
5
=
−
6
−
2
t
7
x
=
5
+
y
−
z
−
t
=
6
−
t
2
.
{\displaystyle (S_{5})\Leftrightarrow {\begin{cases}x-y+z+t&=5\\5y+2z+3t&=-2\\4y-4z-2t&=-8\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x-y+z+t&=5\\5y+2z+3t&=-2\\-14y-11t&=-16\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&={\frac {16-11t}{14}}\\y&={\frac {-2-2z-3t}{5}}={\frac {-6-2t}{7}}\\x&=5+y-z-t={\frac {6-t}{2}}.\end{cases}}}
Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solutions :
(
S
1
)
{
x
+
y
−
z
=
0
x
−
y
=
0
+
y
+
z
=
0
(
S
2
)
{
x
+
3
y
+
2
z
=
1
2
x
−
2
y
=
2
x
+
y
+
z
=
2
(
S
3
)
{
x
+
3
y
+
2
z
=
1
2
x
−
2
y
=
2
x
+
y
+
z
=
1.
{\displaystyle (S_{1}){\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\+y+z&=0\end{cases}}\qquad (S_{2}){\begin{cases}x+3y+2z&=1\\2x-2y&=2\\x+y+z&=2\end{cases}}\qquad (S_{3}){\begin{cases}x+3y+2z&=1\\2x-2y&=2\\x+y+z&=1.\end{cases}}}
QCM — Test de cours : il y a au moins une réponse exacte par question. Certaines questions nécessitent d'écrire quelques lignes au brouillon.
Soit
(
S
)
{\displaystyle (S)}
le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
il peut arriver que
(
S
)
{\displaystyle (S)}
l'ensemble des solutions de
(
S
)
{\displaystyle (S)}
{
(
0
,
0
,
0
)
}
{\displaystyle \{(0,0,0)\}}
si le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
Soit
(
S
)
{\displaystyle (S)}
il peut arriver que le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
si l'ensemble des solutions contient une droite de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
l'ensemble des solutions est soit un point, soit une droite de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
si le système homogène associé à
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
)
{\displaystyle (S)}
Soit
m
{\displaystyle m}
(
a
)
L
1
←
−
3
L
2
?
(
b
)
L
2
←
m
L
1
−
3
L
2
?
(
c
)
L
1
←
m
L
1
−
3
L
2
?
{\displaystyle (a)\ L_{1}\leftarrow -3L_{2}\ ?\qquad (b)\ L_{2}\leftarrow mL_{1}-3L_{2}\ ?\qquad (c)\ L_{1}\leftarrow mL_{1}-3L_{2}?}
Soit
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
′
)
{\displaystyle (S')}
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
)
{\displaystyle (S)}
{
L
1
←
L
1
−
L
2
L
2
←
L
2
−
L
3
L
3
←
L
3
−
L
1
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrr}L_{1}&\leftarrow L_{1}-L_{2}\\L_{2}&\leftarrow L_{2}-L_{3}\\L_{3}&\leftarrow L_{3}-L_{1}\end{array}}\right.}
le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
′
)
{\displaystyle (S')}
les deux systèmes ont même ensemble de solution.
le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
′
)
{\displaystyle (S')}
le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
(
S
′
)
{\displaystyle (S')}
L'ensemble des solutions du système :
{
x
+
z
=
1
y
−
z
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcl}x&&+z&=&1\\&y&-z&=&0\end{array}}\right.}
{
(
1
,
0
,
0
)
}
{\displaystyle \{(1,0,0)\}}
{
(
0
,
0
,
1
)
}
{\displaystyle \{(0,0,1)\}}
{
(
1
,
0
,
0
)
+
t
(
−
1
,
1
,
1
)
∣
t
∈
R
}
{\displaystyle \{(1,0,0)+t(-1,1,1)\mid t\in \mathbb {R} \}}
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0,0)}
(
−
1
,
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1,1)}
{
(
2
,
−
2
,
−
2
)
+
t
(
−
1
,
−
1
,
1
)
)
∣
t
∈
R
}
{\displaystyle \{(2,-2,-2)+t(-1,-1,1))\mid t\in \mathbb {R} \}}
(
2
,
−
2
,
−
2
)
{\displaystyle (2,-2,-2)}
(
−
1
,
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,-1,1)}
Solution
1 : 4, 2 : 2, 3 : (b), 4 : 3, 5 : 3.
« Solveur en ligne de systèmes d'équations » , sur dcode.fr
