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Exercice : Systèmes à paramètre
Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère le système
:
![{\displaystyle {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6ff78c443e8c3e7c51f1a9dbd752b18d85024f)
Résoudre
, en précisant les valeurs de
pour lesquelles il est de Cramer.
On considère le système linéaire
![{\displaystyle (S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef270879c9061788c0db71d67c321408d74ea952)
dépendant des paramètres réels
.
- Donner une expression factorisée du déterminant de
.
- Discuter et résoudre le système
.
Solution
.
-
- Si
,
est de Cramer et sa solution
est donnée par :
![{\displaystyle {\begin{cases}x&={\frac {a(m^{2}-2)+(4-m)b+(1-2m)c}{m^{3}-6m+9}}\\y&={\frac {(1-2m)a+(m^{2}-2)b+(4-m)c}{m^{3}-6m+9}}\\z&={\frac {(4-m)a+(1-2m)b+(m^{2}-2)c}{m^{3}-6m+9}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72af34702f1162ffa2f2ceaa69b17e2a96f23c80)
- Si
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}-3x+y+2z=a\\2x-3y+z=b\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}7y-7z=a+3c\\-7y+7z=b-2c\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}0=a+b+c\\z={\frac {b-2c}{7}}+y\\x={\frac {3b+c}{7}}+y\end{cases}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb3fbfecafa50c71a0be3c887b9d2cd9a7addb8)
- donc :
- si
,
n'a pas de solution ;
- si
, l'ensemble des solutions de
est la droite affine
.
Résoudre, en fonction du paramètre
, le système
![{\displaystyle {\begin{cases}x+my+m^{2}z+m^{3}t=1\\mx+m^{2}y+m^{3}z+mt=1\\m^{2}x+m^{3}y+z+mt=1\\m^{3}x+y+mz+m^{2}t=1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4ee2bfa21cb14de6b09a09436974839f1bb4bc)
Solution
Par la méthode du pivot de Gauss, le système se ramène à
![{\displaystyle {\begin{cases}x+my+m^{2}z+m^{3}t=1\\(1-m^{4})(y+mz+m^{2}t)=1-m^{3}\\(1-m^{4})(z+mt)=1-m^{2}\\(1-m^{4})t=1-m.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c66e834e95112a7b421ca49514455d97cc2e644)
- Si
, son unique solution est donc
.
- Si
, la dernière équation est
donc le système n'a pas de solution.
- Si
, le système équivaut à
donc il a une infinité de solutions :
avec
réels arbitraires.
Résoudre, en fonction des paramètres
, les systèmes
![{\displaystyle (S_{1})\;{\begin{cases}x+(m+1)y&=m+2\\mx+(m+4)y&=8\end{cases}}\qquad (S_{2})\;{\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}}\qquad (S_{3})\;{\begin{cases}3x-y+2z&=a\\-x+2y-3z&=b\\2x+y-z&=c.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f99f7e0e0718cb8360d4d16649899a3c0887fc)
Solution
![{\displaystyle (S_{1})\Leftrightarrow {\begin{cases}x=m+2-(m+1)y\\m(m+2-(m+1)y)+(m+4)y=8\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=m+2-(m+1)y\\(4-m^{2})y&=8-m^{2}-2m=-(m-2)(m-4).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1e20280269ae14b87318801bc6cf2005a823be)
Si
,
a une unique solution :
,
.
Si
,
équivaut à
(et
) donc a (dans
) toute une droite affine de solutions.
Si
,
équivaut à
(et une autre équation) donc n'a aucune solution.
Remarque :
définit l'intersection de 2 droites dans
, parallèles ou sécantes, selon que
est égal ou pas à
.
![{\displaystyle (S_{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}}\Leftrightarrow (L_{2}\rightarrow L_{2}-L_{1}){\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\x+(1-2m)y&=4m+1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ad812f3b330bd689a2c1e60e92663b323930e5)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}x=4m+1+(2m-1)y\\m(4m+1+(2m-1)y)+(m-1)y=m+2\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=4m+1+(2m-1)y\\(2m^{2}-1)y&=2-4m^{2}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5286f7ba365f7f8be3b4f3223a40393097cd708d)
Si
(c'est-à-dire
), la seconde équation devient
, donc
a toute une droite affine de solutions.
Si
,
![{\displaystyle (S_{3})\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\3x-y+2(2x+y-c)&=a\\-x+2y-3(2x+y-c)&=b\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\7x+y&=a+2c\\-7x-y&=b-3c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\y&=a+2c-7x\\-a-2c&=b-3c.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ea6ec7dca31af446a473228e46c592084e9e3b)
Si
,
n'a aucune solution.
Si
,
a (dans
) toute une droite affine de solutions :
Remarque :
définit l'intersection de 3 plans dans
. Quand on prend les deux premiers, on trouve une droite parallèle au troisième (car de direction
) : soit strictement parallèle, soit incluse, selon que
est égal ou pas à
.
Soient
. Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss et en discutant en fonction de la valeur des paramètres :
![{\displaystyle (S):{\begin{cases}ax+by+z&=1\\x+aby+z&=b\\x+by+az&=1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c41b4d0c723fc5fa5f38d780cc1f8de0af856d4)
Solution
- Si
,
donc :
- si
,
;
- si
,
donc
.
- Si
,
donc :
- si
,
;
- si
,
donc
.
- Si
et
,
donc :
- si
,
;
- si
, ![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{\left({\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}},{\frac {2-ab-b}{b(1-a)(2+a)}},{\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd1f0442f7f4977191362ecf58f6b1a1877091e)
Discuter selon les valeurs du paramètre
, le nombre de solutions du système suivant (on ne cherchera pas à expliciter les solutions) :
![{\displaystyle (S):\left\{{\begin{matrix}x&+&py&+&(2+p)z&=&1\\&&y&+&(3p-1)z&=&1\\x&+&2y&+&5pz&=&3.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51887cd40674d90b6f85a7c290e008dbc3f496df)
Résoudre, en fonction du paramètre
, le système suivant :
![{\displaystyle (S):\left\{{\begin{matrix}ax&+&y&+&z&=&1\\x&+&ay&+&z&=&a\\x&+&y&+&az&=&a^{2}\\x&+&ay&+&az&=&a\\ax&+&y&+&az&=&1.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d712e71f605db3b5a7957b00c5b16e08a54bbae)
Solution
- Si
, l'ensemble des solutions est
.
- Si
, on divise les lignes 2 à 5 par
:
- Si
et
, il n'y a pas de solution.
- Si
, l'unique solution est
.
Résoudre, en fonction du paramètre
, le système
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{llll}6mx&+12y&+(6m-12)z&=-m^{2}-2m+56\\(2m-1)x&+(2-m)y&+2mz&=m-1\\(m-1)x&+(m-1)y&&=2m.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215f1209efa5fa148848ea851cdf305cead4f0f7)
Solution
- Cas critiques :
.
- Si
,
.
- Si
,
.
- Si
,
.
- Si
, on commence par
on obtient :
On enchaîne avec
:
« Sous-chapitre 200.3 Systèmes linéaires, rang », sur exo7 (choix du module : L2 algèbre ; choix du chapitre : 200 Déterminant, système linéaire)