Système d'équations linéaires/Exercices/Systèmes linéaires à trois équations et trois inconnues

Exercice 1

Résoudre le système d'équations ℝ³ suivant

${\begin{cases}x+3y+2z=1\\2x-2y=2\\x+y+z=2\end{cases}}$

Solution

On se ramène à un système de 2 équations à 2 inconnues en éliminant $y$ qui, selon la deuxième équation, doit être égal à $x-1$.

${\begin{cases}x+3(x-1)+2z=1\\x+(x-1)+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2(2x+z)=4\\2x+z=3.\end{cases}}$

Comme $2\times 3\neq 4$, le système n'a pas de solution.

 

Exercice 2

Résoudre le système d'équations suivant :

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\2x-7y=-41\\5x+2y=-5.\end{cases}}$

Solution

Pour utiliser la méthode par combinaisons linéaires, on multiplie la deuxième ligne par 5 et la troisième par –2 :

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\10x-35y=-205\\-10x-4y=10.\end{cases}}$

Ainsi on peut additionner les deux dernières lignes, les 10 x et -10 x se simplifiant :

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\-39y=-195\\5x+2y=-5\end{cases}}$

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\y=5\\5x+10=-5\end{cases}}$

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\y=5\\5x=-15\end{cases}}$

${\begin{cases}2x+3y-5z=29\\y=5\\x=-3\end{cases}}$

${\begin{cases}-6+15-5z=29\\y=5\\x=-3\end{cases}}$

${\begin{cases}-5z=20\\y=5\\x=-3\end{cases}}$

${\begin{cases}z=-4\\y=5\\x=-3\end{cases}}$

 

Exercice 3

Discuter et résoudre, suivant les valeurs du paramètre $\alpha$ :

${\begin{cases}x+y+(1-2\alpha )z=2(1+\alpha )\\(1+\alpha )x-(1+\alpha )y+(2+\alpha )z=0\\2x-2\alpha y+3z=2(1+\alpha ).\end{cases}}$

Solution

On se ramène à un système de 2 équations à 2 inconnues en éliminant $x$ qui, selon la première équation, doit être égal à $-y+(2\alpha -1)z+2(1+\alpha )$.

${\begin{cases}(1+\alpha )[-y+(2\alpha -1)z+2(1+\alpha )]-(1+\alpha )y+(2+\alpha )z=0\\2[-y+(2\alpha -1)z+2(1+\alpha )]-2\alpha y+3z=2(1+\alpha )\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}-2(1+\alpha )y+(2\alpha ^{2}+2\alpha +1)z=-2(1+\alpha )^{2}\\-2(1+\alpha )y=-(4\alpha +1)z-2(1+\alpha )\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}2\alpha (\alpha -1)z=-2\alpha (1+\alpha )\\-2(1+\alpha )y=-(4\alpha +1)z-2(1+\alpha ).\end{cases}}$

Si $\alpha =0$, ce système de 2 équations équivaut à $z=2y-2$ et en reportant, $x=-y-z+2=-y-(2y-2)+2=-3y+4$ donc les solutions sont les triplets de la forme $(-3y+4,y,2y-2)$ avec $y\in \mathbb {R}$ arbitraire.

Si $\alpha =1$, la première des 2 équations devient $0=-4$ donc le système n'a pas de solution.

Si $\alpha$ est différent de 0 et de 1, le système de 2 équations équivaut à

${\begin{cases}z=-{\frac {\alpha +1}{\alpha -1}}\\y=-{\frac {2\alpha +3}{2(\alpha -1)}}\end{cases}}$

et en reportant,

$x={\frac {2\alpha +3}{2(\alpha -1)}}-(2\alpha -1){\frac {\alpha +1}{\alpha -1}}+2(1+\alpha )={\frac {1}{2(\alpha -1)}}$

donc l'unique solution est le triplet

$\left({\frac {1}{2(\alpha -1)}},-{\frac {2\alpha +3}{2(\alpha -1)}},-{\frac {\alpha +1}{\alpha -1}}\right)$.

 

Exercice 4

Les coefficients des trois disciplines d'une unité d'enseignement ont été perdus, mais on connaît les résultats de trois étudiants.

${\begin{array}{|l||c|c|c|}\hline &Anne&Bernard&Charles\\\hline \hline Maths&10&5&12\\\hline Informatique&9&10&8\\\hline Physique&12&13&20\\\hline \hline Note~finale&10&8&12\\\hline \end{array}}$

Retrouver le coefficient qui affecte chaque matière dans le calcul de la note finale.

Solution

${\begin{cases}x+y+z&=1\\10x+9y+12z&=10\\5x+10y+13z&=8\\12x+8y+20z&=12\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z&=1\\-y+2z&=0\\5y+8z&=3\\-4y+8z&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=1-y-z\\y&=2z\\18z&=3\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&={\frac {1}{6}}\\y&={\frac {1}{3}}\\x&={\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Maths : 1/2, informatique : 1/3, physique : 1/6.