Système d'équations linéaires/Exercices/Sujet de brevet

Exercice 1

a. Résoudre le système suivant par la méthode de substitution : ${\begin{cases}2x+y=2\\3x+2y=1\end{cases}}$

Solution

Par la méthode de substitution, en exprimant y dans la première équation et en le remplaçant dans la seconde.

${\begin{cases}2x+y=2\\3x+2y=1\end{cases}}$

${\begin{cases}y=2-2x\\3x+2y=1\end{cases}}$

${\begin{cases}y=2-2x\\3x+2\left(2-2x\right)=1\end{cases}}$

${\begin{cases}y=2-2x\\3x+4-4x=1\end{cases}}$

${\begin{cases}y=2-2x\\-x=-3\end{cases}}$

${\begin{cases}y=2-2\times 3\\x=3\end{cases}}$

${\begin{cases}y=-4\\x=3\end{cases}}$

 

b. Résoudre le système suivant, avec une autre méthode que la méthode de substitution : ${\begin{cases}2x+y=2\\3x+2y=1\end{cases}}$

Solution

Par la méthode d'ajout membre à membre. On cherche par quel facteur il faut multiplier chaque équation pour qu'en les additionnant membre à membre, une des inconnues disparaisse. Ici, si on multiplie la première équation par -2 (opposé du facteur de y dans la seconde équation) et qu'on l'ajoute à la seconde, y disparait du résultat.

${\begin{cases}-4x-2y=-4\\3x+2y=1\end{cases}}$

${\begin{cases}(3-4)x=1-4\\2y=1-3x\end{cases}}$

${\begin{cases}-x=-3\\2y=1-3.3\end{cases}}$

${\begin{cases}x=3\\y=(1-9)/2\end{cases}}$

${\begin{cases}x=3\\y=-8/2=-4\end{cases}}$

 

Exercice 2

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège en juin 2000.

Résoudre le système suivant : ${\begin{cases}x+y=630\\18x+30y=14\,220\end{cases}}$

Solution

${\begin{cases}x+y=630\\18x+30y=14\,220\end{cases}}$

${\begin{cases}-18x-18y=-18\times 630\\18x+30y=14\,220\end{cases}}$

${\begin{cases}-18x-18y=-18\times 630\\0x+\left(30-18\right)y=14\,220-11\,340\end{cases}}$

${\begin{cases}x+y=630\\12y=2\,880\\\end{cases}}$

${\begin{cases}y=240\\x+240=630\end{cases}}$

${\begin{cases}y=240\\x=390\end{cases}}$

 

Dans un parc zoologique, la visite coûte 30 € pour les adultes et 18 € pour les enfants. À la fin de la journée, on sait que 630 personnes ont visité le zoo et que la recette du jour est de 14 220 €.

Parmi les personnes qui ont visité le zoo ce jour-là, quel est le nombre d'enfants ? Quel est le nombre d'adultes ?

Solution

Il y a eu 390 enfants et 240 adultes.

 

Exercice 3

Résoudre le système suivant : ${\begin{cases}3x-7y=18,8\\x-5y=10\end{cases}}$

Solution

${\begin{cases}3x-7y=18,8\\x-5y=10\end{cases}}$

${\begin{cases}3x-7y=18,8\\x=10+5y\end{cases}}$

${\begin{cases}3\left(10+5y\right)-7y=18,8\\x=10+5y\end{cases}}$

${\begin{cases}30+15y-7y=18,8\\x=10+5y\end{cases}}$

${\begin{cases}8y=18,8-30\\x=10+5y\end{cases}}$

${\begin{cases}y=-1,4\\x=10+5y\end{cases}}$

${\begin{cases}y=-1,4\\x=3\end{cases}}$

 

Exercice 4

Au restaurant la famille Metz a payé 112 € pour trois menus « adulte » et un menu « enfant ». La famille Walter a payé 94 € pour deux menus « adulte » et deux menus « enfant ».

1. En appelant x le prix d'un menu « adulte » et y le prix d'un menu « enfant », écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.

2. Résoudre le système.

3. Donner le prix du menu « adulte » et celui du menu « enfant ».

Solution

1. ${\begin{cases}3x+1y=112\\2x+2y=94\end{cases}}$

2. ${\begin{cases}3x+1y=112\\2x+2y=94\end{cases}}$

${\begin{cases}6x+2y=224\\2x+2y=94\end{cases}}$

${\begin{cases}6x+2y=224\\4x=130\end{cases}}$

${\begin{cases}6x+2y=224\\x=32,5\end{cases}}$

${\begin{cases}6\times 32,5+2y=224\\x=32,5\end{cases}}$

${\begin{cases}195+2y=224\\x=32,5\end{cases}}$

${\begin{cases}2y=29\\x=32,5\end{cases}}$

${\begin{cases}y=14,5\\x=32,5\end{cases}}$

3. Le menu « adulte » est à 32,5 €, tandis que le menu « enfant » est à 14,5 €.

 

Exercice 5

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet des collèges en juin 1996.

1. Résoudre le système suivant, d'inconnues x et y : ${\begin{cases}x+y=35\\8x+7y=260\end{cases}}$

2. Si x désigne le prix d'un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20 %.

3. Pour l'achat d'un livre et d'un stylo, la dépense est de 35 €. Après une réduction de 20 % sur le prix du livre et de 30 % sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 €.

Calculer le prix d'un livre et celui d'un stylo avant la réduction.

Solution

1. ${\begin{cases}x+y=35\\8x+7y=260\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-y\\8x+7y=260\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-y\\8\left(35-y\right)+7y=260\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-y\\280-8y+7y=260\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-y\\-y=260-280\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-y\\y=20\end{cases}}$

${\begin{cases}x=35-20\\y=20\end{cases}}$

${\begin{cases}x=15\\y=20\end{cases}}$

2. $x\left(1-{\frac {20}{100}}\right)$

= $x\left({\frac {80}{100}}\right)$

= $0,8x$

3. Le prix du livre est de 15 €, le prix du stylo est de 20 €.

 

Exercice 6

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet des collèges en juin 1995.

Jean et Paul désirent acheter en commun un lecteur de CD qui coûte 200 €.

Les économies de Paul représente les ${\frac {4}{5}}$ de celles de Jean, et s'ils réunissent leurs économies, il leur manque 27,20 € pour pouvoir effectuer leur achat.

Calculer le montant des économies de chacun des deux garçons.

Solution

Soit x le montant des économies de Paul et y celui de Jean.

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}\times y\\x+y+27,2=200\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}y\\{\frac {4}{5}}\times y+y+27,2=200\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}y\\{\frac {4}{5}}\times y+{\frac {5}{5}}\times y=200-27,2\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}y\\{\frac {9}{5}}\times y=172,8\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}y\\y=172,8\times {\frac {5}{9}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x={\frac {4}{5}}y\\y=96\end{cases}}$

${\begin{cases}x=76,8\\y=96\end{cases}}$

 

Exercice 7

Vous disposez de deux alliages, l'un contenant 35 % d'argent, l'autre 60 %.

Quelle quantité de chacun de ces deux alliages devez vous fondre et mélanger pour obtenir 100 g d'un alliage contenant 50 % d'argent ?

Solution

L'un 40 g, l'autre 60.