Leçons de niveau 13

Statistique à deux variables/Ajustement affine par les moindres carrés

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Ajustement affine par les moindres carrés
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Chapitre no 2
Leçon : Statistique à deux variables
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Ajustement par la méthode des moindres carrés[modifier | modifier le wikicode]

La forme d'un nuage de points invite à retenir pour l'ajuster des modèles de fonctions familières :

  • soit le modèle affine
  • soit le modèle exponentiel
  • soit le modèle puissance
  • ...

Pour ajuster une série à un modèle il faut un critère : dans la méthode des moindres carrés on retient le critère suivant : la somme des carrés des écarts verticaux entre les valeurs observés et celles données par le modèle doit être minimale :

Sur la figure ci-dessous cela représente la somme des carrés des longueurs vertes :

Linear least squares example2.png




Ajustement affine par la méthode des moindres carrés[modifier | modifier le wikicode]

Lorsque le nuage est de forme allongée, on peut tenter un ajustement affine en utilisant le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque 1 : on appelle parfois cette droite : droite de régression de y en x.

Remarque 2 : une démonstration de ce théorème est donnée dans la leçon : Trace et transposée de matrice.

Interpolation et extrapolation[modifier | modifier le wikicode]

Pour une valeur de la variable , la connaissance de permet de prévoir approximativement la valeur correspondante de . Pour cela, on calcule .

  • Si appartient à l'intervalle d'observation des valeurs de , on dit qu'on fait une interpolation.
  • Si est à l'extérieur de l'intervalle d'observation, on parle d'extrapolation.
Cela suppose de faire l'hypothèse que le modèle reste plausible à l'extérieur de l'intervalle.