Statique des fluides/Poussée d'Archimède

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Définition

Poussée d'Archimède

Un corps solide immergé dans un fluide, et en équilibre, subit de la part de celui-ci une force verticale dirigée vers le haut et d'intensité égale à celle du poids du volume d'eau déplacé.

${\overrightarrow {A}}=-\rho _{fluide}.V_{immerg{\acute {e}}}.{\overrightarrow {g}}$

$\rho _{fluide}\!$ : masse volumique du fluide ;

$V_{immerg{\acute {e}}}$ : volume de la partie immergé du solide ;

${\overrightarrow {g}}$ : champ de pesanteur.

Établissement de l’expression

Un exemple (à gauche) et un contre exemple (à droite) du concept de crève-tonneau de Pascal

La Poussée d'Archimède est définie comme la somme des pressions p appliquées sur l’ensemble de ses surfaces élémentaires $\scriptstyle {\rm {d}}S\,$ :

$${\overrightarrow {A}}=-\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}p.\mathrm {d} {\overrightarrow {S}}=-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{solide}}{\overrightarrow {\nabla p}}.\mathrm {d} V=-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{solide}}\rho _{fluide}.{\overrightarrow {g}}.\mathrm {d} V$$.

L'accélération de pesanteur est supposée constante et $\left\langle \rho _{fluide}\right\rangle$ étant la masse volumique moyenne du fluide, on peut écrire :

${\overrightarrow {A}}=-\left\langle \rho _{fluide}\right\rangle .V_{solide}.{\overrightarrow {g}}$.

Dans le cas où le solide flotte dans un liquide, et qu’il a une partie émergée dans un gaz, les forces de pressions dues au gaz sont négligeables devant celles dues au liquide dans les cas courants. En effet, la masse volumique des gaz est très faible devant celle des liquides. On ne considère alors que la partie immergé du solide et on obtient :

${\overrightarrow {A}}=-\rho _{liquide}.V_{immerg{\acute {e}}}.{\overrightarrow {g}}$

Conditions de flottabilité d'un solide

$\scriptstyle {\vec {P}}$ étant le poids du solide en équilibre, le principe fondamental de la statique impose :

${\overrightarrow {P}}+{\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0}}$.

Le Poids est défini comme le produit de la masse du solide par l'accélération de pesanteur :

${\overrightarrow {P}}=\rho _{solide}.V_{solide}.{\overrightarrow {g}}$.

Il vient donc :

${\frac {V_{immerg{\acute {e}}}}{V_{solide}}}={\frac {\rho _{solide}}{\rho _{liquide}}}$.

Conclusion

Pour que l’objet flotte, c'est-à-dire pour que $\scriptstyle V_{immerg{\acute {e}}}<V_{solide}$, il faut que :

$\rho _{solide}<\rho _{liquide}\!$.

La condition serait la même pour un liquide non miscible.