Statique des fluides/Exercices/Outils mathématiques

Sujet :

Montrer que :

$a)\quad \Delta f=\nabla .(\nabla f)$

$b)\quad \nabla \wedge (\nabla f)=0$

$c)\quad \nabla .(\nabla \wedge {\overrightarrow {A}})=0$

$d)\quad ({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}=({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}).{\overrightarrow {v}}-{\frac {1}{2}}\nabla {\overrightarrow {v^{2}}}$

Solution

a ) Démontrons que : $\Delta f=\nabla .(\nabla f)$

Traduction littérale : Démontrons que le laplacien de f est égal à la divergence du gradient de f.

Par définition, on sait que :

Divergence de v $=\nabla .\nabla ={\frac {\partial v_{x}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {v_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {v_{z}}}{\partial {z}}}$

Gradient de f $=\nabla f={\begin{cases}{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\end{cases}}$

Il faut ensuite faire la différence entre le laplacien vectoriel (à partir d'un vecteur, on obtient un vecteur), et le laplacien scalaire (à partir d'un scalaire, on obtient un scalaire)

Laplacien vectoriel de v $=\Delta V={\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}{V_{x}}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{x}}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{x}}}{\partial {z^{2}}}}\\{\frac {\partial ^{2}{V_{y}}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{y}}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{y}}}{\partial {y^{2}}}}\\{\frac {\partial ^{2}{V_{z}}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{z}}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{V_{z}}}{\partial {z^{2}}}}\end{cases}}$

Laplacien scalaire de f $=\Delta f={\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {z^{2}}}}$

On remarque que V est un vecteur, et f un scalaire. Le gradient d'un scalaire nous donne un vecteur, la divergence d'un vecteur nous donne un scalaire, tandis que le laplacien scalaire d'un scalaire nous donne un scalaire.

Avant de commencer, on peut remarquer qu'ici : f est un scalaire, donc que le gradient de f sera un vecteur, et la divergence du gradient de f sera un scalaire. Le laplacien de f sera aussi un scalaire, ce qui est donc cohérent.

Commençons par calculer et développer : $\nabla .(\nabla f)$

$\nabla f={\begin{cases}{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\end{cases}}$

$\nabla .(\nabla f)=\nabla .{\begin{cases}{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\end{cases}}=\Delta f={\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {z^{2}}}}$

Maintenant calculons le laplacien de f : on utilise le laplacien scalaire car f en est un (ce n'est effectivement pas un vecteur avec plusieurs composantes) :

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {z^{2}}}}$

On remarque alors que $\Delta f=\nabla .(\nabla f)$, ce qu’il fallait démontrer.

b) Démontrons que : $\nabla \wedge (\nabla f)=0$

Traduction littérale : démontrons que le rotationnel du gradient de f est toujours un vecteur nul.

Par définition, on sait que : Rotationnel de V $=\nabla \wedge V={\begin{cases}{\frac {\partial {V_{z}}}{\partial {y}}}-{\frac {\partial {V_{y}}}{\partial {z}}}\\{\frac {\partial {V_{x}}}{\partial {z}}}-{\frac {\partial {V_{z}}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {V_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {V_{x}}}{\partial {y}}}\end{cases}}$ Pour retrouver cet opérateur on peut utiliser l'astuce mathématique du produit vectoriel: $rot(V)={\begin{cases}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\\{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}\end{cases}}\wedge {\begin{cases}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}\end{cases}}$

Gradient de f : voir précédemment.

Calculons et développons : $\nabla \wedge (\nabla f)$ $\nabla f={\begin{cases}{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\end{cases}}$ $\nabla \wedge (\nabla f)=\nabla \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial z}})}{\partial y}}-{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial y}})}{\partial z}}\\{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial x}})}{\partial z}}-{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial z}})}{\partial x}}\\{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial y}})}{\partial x}}-{\frac {\partial ({\frac {\partial f}{\partial x}})}{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\end{pmatrix}}$

Ici, si f est une fonction d'état, ce qui sera souvent le cas en mécanique des fluides, alors ses dérivées croisées sont égales : ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ Ainsi : ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}=0$ De la même façon on obtient : ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}=\nabla \wedge (\nabla f)$

ce qu’il fallait démontrer

c) Démontrons que : $\nabla .(\nabla \wedge {\overrightarrow {A}})=0$

Littéralement, il s'agit de démontrer que la divergence d'un rotationnel est nulle. Reprenons l'écriture du rotationnel :

Rotationnel de ${\overrightarrow {A}}=\nabla \wedge {\overrightarrow {A}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}$

Et reprenons maintenant l'écriture de la fonction divergence : $\nabla {\overrightarrow {A}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\\{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}\\{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

Calculons maintenant la divergence d'un rotationnel :

$div({\overrightarrow {rot}}({\overrightarrow {A}}))={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})+{\frac {\partial }{\partial y}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})+{\frac {\partial }{\partial z}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})$

En développant :

$div({\overrightarrow {rot}}({\overrightarrow {A}}))=({\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\partial z}})+({\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\partial x}})+({\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\partial y}})$

Avec l'égalité des dérivées croisés, nous pouvons écrire que :

${\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\partial y}}=0$

${\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\partial z}}=0$

${\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\partial x}}=0$

On obtient donc : ${\overrightarrow {\nabla }}.({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {A}})=div({\overrightarrow {rot}}({\overrightarrow {A}}))={\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {x}}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial {z}}}\end{cases}}\wedge {\begin{cases}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})\\{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})\\{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})\end{cases}}=0$

ce qu’il fallait démontrer

d) Démontrons que : $({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}=({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}).{\overrightarrow {v}}-{\frac {1}{2}}\nabla {\overrightarrow {v^{2}}}$

Il s'agit d'une identité vectorielle communément admise. Traduit littéralement, le produit vectoriel du champ par son rotationnel doit être égal au produit scalaire du champ par sa divergence moins un demi du gradient du champ vectoriel au carré.

Développons désormais le produit vectoriel du champ par son rotationnel :

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}={\begin{cases}{\frac {\partial vz}{\partial y}}-{\frac {\partial vy}{\partial z}}\\{\frac {\partial vx}{\partial z}}-{\frac {\partial vz}{\partial x}}\\{\frac {\partial vy}{\partial x}}-{\frac {\partial vx}{\partial y}}\end{cases}}\wedge {\begin{cases}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}\end{cases}}={\begin{cases}({\frac {\partial vx}{\partial z}}vz-{\frac {\partial v^{2}z}{\partial x}})-({\frac {\partial v^{2}y}{\partial x}}-{\frac {\partial vx}{\partial y}}vy)\\({\frac {\partial vy}{\partial x}}vx-{\frac {\partial v^{2}x}{\partial y}})-({\frac {\partial v^{2}z}{\partial y}}-{\frac {\partial vy}{\partial z}}vz)\\({\frac {\partial vz}{\partial y}}vy-{\frac {\partial v^{2}y}{\partial z}})-({\frac {\partial v^{2}x}{\partial z}}-{\frac {\partial vz}{\partial x}}vx)\end{cases}}$

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}={\begin{cases}-{\frac {\partial }{\partial x}}(v^{2}z+v^{2}y)+vx({\frac {\partial vz}{\partial z}}+{\frac {\partial vy}{\partial y}})\\-{\frac {\partial }{\partial y}}(v^{2}x+v^{2}z)+vy({\frac {\partial vx}{\partial x}}+{\frac {\partial vz}{\partial z}})\\-{\frac {\partial }{\partial z}}(v^{2}x+v^{2}y)+vz({\frac {\partial vy}{\partial y}}+{\frac {\partial vx}{\partial x}})\end{cases}}$

Pour obtenir le gradient du champ vectoriel au carré suivant :

$-\nabla {\overrightarrow {v^{2}}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}(v^{2}x+v^{2}y+v^{2}z)$

Il faut rajouter les termes suivants sur chaque projection i :

$-{\frac {\partial }{\partial i}}v^{2}i+{\frac {\partial }{\partial i}}v^{2}i$

pour conserver l'égalité

On obtient :

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}={\begin{cases}-{\frac {\partial }{\partial x}}(v^{2}x+v^{2}y+v^{2}z)+vx({\frac {\partial vx}{\partial x}}+{\frac {\partial vy}{\partial y}}+{\frac {\partial vz}{\partial z}})\\-{\frac {\partial }{\partial x}}(v^{2}x+v^{2}y+v^{2}z)+vy({\frac {\partial vx}{\partial x}}+{\frac {\partial vy}{\partial y}}+{\frac {\partial vz}{\partial z}})\\-{\frac {\partial }{\partial x}}(v^{2}x+v^{2}y+v^{2}z)+vz({\frac {\partial vx}{\partial x}}+{\frac {\partial vy}{\partial y}}+{\frac {\partial vz}{\partial z}})\end{cases}}$

avec : $(({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}).{\overrightarrow {v}})_{i}=vi({\frac {\partial vx}{\partial x}}+{\frac {\partial vy}{\partial y}}+{\frac {\partial vz}{\partial z}})$
$(-\nabla {\overrightarrow {v^{2}}})_{i}=-{\frac {\partial }{\partial i}}(v^{2}x+v^{2}y+v^{2}z)$

On obtient donc finalement :

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}=({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}).{\overrightarrow {v}}-\nabla {\overrightarrow {v^{2}}}$

Sachant que :

$(\nabla {\overrightarrow {v^{2}}})=-\nabla ({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {v}})$

On retrouve la propriété du double produit vectoriel mais pas celle de l'identité vectorielle ! :

$({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {\nabla }}=({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}).{\overrightarrow {v}}+\nabla ({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {v}})$