Statique des fluides/Exercices/Montgolfière

Solution

1. On cherche à déterminer P(Z) et $\rho {z}$. P étant la pression dans le ballon et $\rho$ la masse volumique de l'air dans celui-ci.

L'air est considéré comme un gaz parfait suivant la loi : $P=\alpha .\rho .T$

Dans un premier temps on isole $\rho$ pour obtenir l’expression suivante :

$\rho ={\frac {P}{\alpha .T}}$

Dans un deuxième temps on écrit l'équation fondamentale de l'hydrostatique.

$-{\overrightarrow {\nabla }}p-\rho {\overrightarrow {\nabla }}\emptyset ={\overrightarrow {0}}$

On remplace $\rho$ par l’expression trouvé précédemment et ${\overrightarrow {g}}$ par la relation donnée dans l'énoncé.

${\overrightarrow {\nabla }}p+{\frac {P}{\alpha T}}{\frac {G.M_{T}}{(z+R_{T})^{2}}}{\overrightarrow {k}}={\overrightarrow {0}}$

avec : ${\overrightarrow {\nabla }}p={\begin{pmatrix}{\frac {\partial p}{\partial x}}\\{\frac {\partial p}{\partial y}}\\{\frac {\partial p}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

On s'occupe uniquement de l'équation dans la direction de k. On isole P d'un côté et Z de l'autre :

${\frac {\partial P}{\partial z}}+{\frac {P}{\alpha T}}{\frac {G.M_{T}}{(z+R_{T})^{2}}}=0$
${\frac {dp}{P}}={\frac {-1}{\alpha T}}{\frac {G.M_{T}}{(z+R_{T})^{2}dz}}$ On intègre :

$\int _{P_{0}}^{P}{\frac {1}{P}}dP=-{\frac {G.M_{T}}{\alpha T}}\int _{0}^{z}{\frac {1}{(z+R_{T})^{2}}}dz$

$[\ln {p}]_{P_{0}}^{P}=-{\frac {G.M_{T}}{\alpha T}}[{\frac {1}{(z+R_{T})}}]_{0}^{z}$

$\ln {({\frac {P}{P_{0}}})}={\frac {G.M_{T}}{\alpha T}}({\frac {1}{z+R_{T}}}-{\frac {1}{R_{T}}})$

D'où :

$P(z)=P_{0}\exp {{\frac {G.M_{T}}{\alpha T}}({\frac {1}{z+R_{T}}}-{\frac {1}{R_{T}}})}$

où :

$P_{0}$est la pression dans le ballon lorsqu’il touche la terre

G constante universelle de gravitation (en SI)

$M_{T}$ masse de la terre (en kg)

$\alpha$constante (en SI)

T température (en K)

z hauteur du ballon (en m)

$R_{T}$ rayon de la terre (en m)

Avec P(z) et l’expression que nous avons déterminé au début on peut trouver $\rho (z)$

$\rho (z)={\frac {P(z)}{\alpha .T}}$

On propose de calculer la pression pour z = 1000m et z = 10 000m. La température est supposée constante avec T = 20 °C. Dans un premier temps il faut convertir T en Kelvin. $t=T-T_{0}$ avec :

t la température en °C. T la température K. $T_{0}$ la température absolue en K.

On obtient ainsi $T=293K$ On considère que lorsque la montgolfière est sur la terre on a $P_{0}=P_{atm}$

Nous pouvons maintenant déterminer la pression pour une altitude $z=1000m$

$P(z=1000)=10^{5}.\exp {[{\frac {6,67.10^{-11}6.10^{24}}{286,7.293}}({\frac {1}{1000+6,38.10^{6}}}-{\frac {1}{6,38.10^{6}}})]}$

$P(z=1000)=8,9.10^{4}P_{a}$

De la même façon nous pouvons calculer la pression à une altitude $z=10000$ $P(z=10000)=3,1.10^{4}P_{a}$

On remarque que plus on monte en altitude et moins la pression à l'intérieur du ballon est grande. Cela provient du fait que la pression atmosphérique diminue avec l'altitude.

2. Le graphe prouve ce qu'on a dit précédemment sur le fait que la pression atmosphérique diminue avec l'altitude. La courbe représente une portion d'une fonction ${\frac {1}{\exp x}}$ ce qui correspond avec ce que nous avons trouvé précédemment. Dans l’expression pour déterminer la pression on a un terme exponentiel. De plus si on compare sur la courbe la valeur de la pression pour une altitude de 1000 et 10 000 mètres, on trouve des valeurs similaires à celles calculées.

On souhaite déterminer la température que doit avoir l'air contenu dans le ballon pour que celui-ci flotte à une altitude de 1 500 m. Maintenant la température n'est plus considérée constante. L'air est plus chaud à l'intérieur du ballon donc la masse volumique de l'air à l'intérieur est inférieure à celle de l'air extérieur. Ainsi il y a la poussée d'Archimède qui s'applique sur le ballon.

On considère qu’à une altitude de 1 500 m l'air extérieur est froid et est égale à $T_{0}$ Les différentes forces qui agissent sur la montgolfière sont : le poids de celle-ci, le poids de l'air dans le ballon et la poussée d'Archimède.

${\overrightarrow {P}}=m.{\overrightarrow {g}}$

${\overrightarrow {P_{air}}}=\rho (z,T).V.{\overrightarrow {g}}$

${\overrightarrow {A}}=-\rho (z,T_{0}).{\overrightarrow {g}}$

La montgolfière flotte à une altitude constante, on peut donc écrire :

${\overrightarrow {P}}+{\overrightarrow {P_{air}}}-{\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0}}$

$m.{\overrightarrow {g}}+\rho (z,T).V.{\overrightarrow {g}}-\rho (z,T_{0}).{\overrightarrow {g}}={\overrightarrow {0}}$

À partir de la loi du gaz parfait, on peut remplacer $\rho (z,T)$ et $\rho (z,T_{0})$

$M+{\frac {P(z)}{\alpha .T}}.V-{\frac {P(z)}{\alpha T_{0}}}.V=O$

$\alpha T={\frac {V.P(z)}{{\frac {V.P(z)}{\alpha .P_{O}}}-\alpha .T_{0}.M}}$

$\alpha T={\frac {\alpha .T_{0}.V.P(z)}{V.P(z)-\alpha .T_{0}.M}}$

$T=T_{0}{\frac {1}{1-{\frac {\alpha .T_{0}.M}{V.P(z)}}}}$

Avec : M la masse de la montgolfière (en kg)

V le volume d'air dans le ballon (en m3)

On commence par calculer la pression pour une altitude de 1 500 m en utilisant la formule déterminée à la question précédente. $P(z=1500)=83902P_{a}$ Ensuite on calcule la température, en kelvins, dans le ballon. $T=273.{\frac {1}{1-{\frac {286,7.273.600}{2500.83902}}}}$ $T=351,75K$ Nous pouvons maintenant déterminer la température que doit avoir l'air dans le ballon pour que la montgolfière flotte à une altitude de 1 500 m. $t=T-T_{0}$ $t=351,75-273$ $t=78,75$ °C