Statique des fluides/Exercices/Equilibre d’une sphère non homogène dans un fluide

Sujet :

Solution

1. Un solide est en équilibre complet si la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées, et la somme des moments de ces forces sont nulles (pas de mouvements de translation ni de rotation). Dans le cas de la sphère posée à la surface de l'eau, elle ne coule pas si elle n'effectue pas de mouvement de translation vers le fond, donc si et seulement si : ${\overrightarrow {P}}\leq {\overrightarrow {A}}$ Avec : ${\overrightarrow {P}}=\rho _{sphere}.V.{\overrightarrow {g}}$

${\overrightarrow {A}}=-\rho _{0}.V_{immerge}.{\overrightarrow {g}}$

Or : $\rho _{Sphere}={\frac {M_{Sphere}}{V}}={\frac {\rho ^{+}.({\frac {V}{2}})+\rho ^{-}.({\frac {V}{2}})}{V}}={\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}$

Donc la sphère ne coule pas si et seulement si :

${\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}.V.{\overrightarrow {g}}\leq -\rho _{0}.V_{immerge}.{\overrightarrow {g}}\Leftrightarrow {\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}.V\leq -\rho _{0}.V_{immerge}$

Or, par définition, $V_{immerge}\leq V$ le volume immergé de la sphère ne peut être supérieur à son volume total). Donc remplacer V par $V_{immerge}$ dans l'équation ci-dessus ne change pas l'inégalité de sens.

Donc ${\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}.V_{immerge}\leq -\rho _{0}.V_{immerge}$ Finalement, la sphère ne coule pas si et seulement si : ${\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}\leq \rho _{0}$

2. Pour la suite de l'exercice, on prend ${\frac {\rho ^{+}+\rho ^{-}}{2}}=\rho _{0}$

On se place donc à la limite d'équilibre (en translation) de la sphère : en théorie elle ne flotte pas ni ne coule puisque sa masse volumique globale est strictement égale à celle de l'eau. Elle devrait rester en équilibre (en translation) dans l'eau tout en étant complètement immergée ($V_{immerge}=V)$.

Position du centre d'inertie de la sphère :

Soient $G_{+}$ et $M_{+}$ respectivement le centre de gravité et la masse de l'hémisphère de densité $\rho ^{+}$.

Soient $G_{-}$ et $M_{-}$ respectivement le centre de gravité et la masse de l'hémisphère de densité $\rho ^{-}$.

La sphère possède un axe de symétrie, qui passe par son centre et est normal au plan de séparation entre les deux hémisphères de densités différentes. Le centre d'inertie de la sphère se trouve donc sur cet axe.

Notre sphère non homogène est un ensemble rigide, on peut donc écrire :

${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{M}}(M_{+}.{\overrightarrow {OG_{+}}}+M_{-}.{\overrightarrow {OG_{-}}})$ Le centre de gravité d'un hémisphère se situant à ${\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}$ On en conclut que : ${\overrightarrow {OG_{+}}}={\frac {3R}{8}}{\overrightarrow {e_{r}}}$ et ${\overrightarrow {OG_{-}}}=-{\frac {3R}{8}}{\overrightarrow {e_{r}}}$

Avec ${\overrightarrow {e_{r}}}$, un vecteur unitaire colinéaire à ${\overrightarrow {OG}}$ et de même orientation que ${\overrightarrow {OG_{+}}}$.

On a alors : ${\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}({\frac {1}{M_{+}+M_{-}}})(M_{+}-M_{-}){\overrightarrow {e_{r}}}$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}({\frac {\rho _{+}{\frac {V}{2}}-\rho _{-}{\frac {V}{2}}}{\rho _{+}{\frac {V}{2}}+\rho _{-}{\frac {V}{2}}}}){\overrightarrow {e_{r}}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}({\frac {\rho _{+}-\rho _{-}}{\rho _{+}+\rho _{-}}}){\overrightarrow {e_{r}}}$

On cherche à exprimer ${\overrightarrow {OG}}$ en fonction de $q={\frac {\rho _{+}}{\rho {-}}}$ : ${\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}[{\frac {(-\rho )({\frac {\rho _{+}}{\rho _{-}}}-1)}{(-\rho )({\frac {\rho _{+}}{\rho _{-}}}+1)}}]{\overrightarrow {e_{r}}}$

${\overrightarrow {OG}}={\frac {3R}{8}}({\frac {q-1}{q+1}}){\overrightarrow {e_{r}}}$

3. Le point d'application de la poussée d'Archimède est le centre de gravité du fluide déplacé. La sphère étant entièrement immergée, cela correspond au centre d'inertie qu'aurait cette sphère si elle était homogène (si c’était un volume sphérique d'eau). Il s'agit donc ici du centre géométrique (et non d'inertie) de la sphère, le point O.

4. La sphère peut être en équilibre complet (pas de mouvements de rotation) seulement si son orientation est telle que la somme des moments des forces qui s'appliquent sur elle est nulle :

$\sum _{}^{}{\overrightarrow {M}}_{{\overrightarrow {force}}/0}={\overrightarrow {M}}_{{\overrightarrow {A}}/0}+{\overrightarrow {M}}_{{\overrightarrow {P}}/0}={\overrightarrow {0}}$

$\sum _{}^{}{\overrightarrow {M}}_{{\overrightarrow {force}}/0}={\overrightarrow {0}}+d{\begin{pmatrix}\sin {\Theta }\\-\cos {\Theta }\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\-P\\0\end{pmatrix}}={\overrightarrow {0}}$ $\Leftrightarrow -dP\sin {\Theta {\overrightarrow {z}}}={\overrightarrow {0}}$

Ce qui se vérifie si d=0 ou $\Theta =0$ ou $\Theta =\pi$

• Cas n°1 : d = 0 , le centre de gravité et le point d'application de la poussée d'Archimède sont confondus, ce qui implique que la sphère est homogène. Dans ce cas il n'y a pas d'orientation préférentielle d'équilibre : $\Theta$ est quelconque.
• Cas n°2 : $\Theta =0$ , l'hémisphère le plus dense est situé en dessous, l'équilibre est stable.
• Cas n°3 : $\Theta =\pi$ , l'hémisphère le plus dense est situé en dessus, l'équilibre est instable.