Statique des fluides/Exercices/Ecoulement

Solution

1. Montrer qu'un écoulement conserve la masse revient à démontrer que l'écoulement est incompressible.

Le champ des vitesses d'Euler de l'écoulement proposé est donné par :

${\vec {v}}(x,y,t)={\begin{pmatrix}v_{x}=a\\v_{y}=2btx\\v_{z}=0\end{pmatrix}}$

Montrer qu'un écoulement est incompressible, c’est montrer que la divergence de sa vitesse est nulle.

Par définition de la divergence on a,

$div{\vec {v}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$

Ce qui donne dans notre cas:

$div{\vec {v}}={\frac {\partial (a)}{\partial x}}+{\frac {\partial (2btx)}{\partial y}}=0$

L'écoulement est incompressible donc il conserve la masse.

2. Retrouver les équations des lignes de courant revient à intégrer la relation suivante :

${\frac {dx}{v_{x}}}={\frac {dy}{v_{y}}}={\frac {dz}{v_{z}}}$

Dans notre cas, v_z est nulle : il faut intégrer la relation :

${\frac {dx}{v_{x}}}={\frac {dy}{v_{y}}}$

On a :

${\frac {dx}{v_{x}}}={\frac {dy}{v_{y}}}\Leftrightarrow dx.v_{y}=dy.v_{x}$
$a(y-y_{0})=2btx^{2}-btx_{0}^{2}$

Soit : $y=Ax^{2}+C$

Avec : $A={\frac {2bt}{a}}$ et $C=-{\frac {btx_{0}^{2}+ay_{0}}{a}}$

Le temps est ici considérer comme une constante car les lignes de courant sont tracer à un instant t fixé.

3. Par définition de l'accélération d'Euler, on a :

${\vec {a}}={\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}.{\vec {grad}}({\vec {v}})={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {grad}}(v^{2})+{\vec {rot}}{\vec {v}}\wedge {\vec {v}}$

Le choix de l'une ou l'autre formule permet bien entendu d'arriver au même résultat. Il est plus commode d’utiliser l'une ou l'autre selon la situation. On apprendra à déceler les situations qui se prêtent le mieux à chacune des équations au fur et mesure que l'ont traitera des cas différents.

d'où ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}0\\2bx\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\vec {grad}}{\begin{pmatrix}a^{2}\\4b^{2}t^{2}x^{2}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\2bt\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}a\\2btx\\0\end{pmatrix}}$

et donc ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}0\\2bx\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}8b^{2}t^{2}x\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-4b^{2}t^{2}x\\2bta\\0\end{pmatrix}}$ Soit ${\vec {a}}=2b{\begin{pmatrix}0\\x+ta\\0\end{pmatrix}}$