1. Montrer qu'un écoulement conserve la masse revient à démontrer que l'écoulement est incompressible.
Le champ des vitesses d'Euler de l'écoulement proposé est donné par :
Montrer qu'un écoulement est incompressible, c’est montrer que la divergence de sa vitesse est nulle.
Par définition de la divergence on a,
Ce qui donne dans notre cas:
L'écoulement est incompressible donc il conserve la masse.
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2. Retrouver les équations des lignes de courant revient à intégrer la relation suivante :
Dans notre cas, v_z est nulle : il faut intégrer la relation :
![{\displaystyle {\frac {dx}{v_{x}}}={\frac {dy}{v_{y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c47543803613f9493e611f7a3d8824d4438d422)
On a :
![{\displaystyle {\frac {dx}{v_{x}}}={\frac {dy}{v_{y}}}\Leftrightarrow dx.v_{y}=dy.v_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da879aebf013fad5a2af8d744f90e8f41375e15)
![{\displaystyle a(y-y_{0})=2btx^{2}-btx_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d108e5497d93b5f88c1bda17d52f153723f6e8d6)
Soit :
Avec :
et
Le temps est ici considérer comme une constante car les lignes de courant sont tracer à un instant t fixé.
3. Par définition de l'accélération d'Euler, on a :
Le choix de l'une ou l'autre formule permet bien entendu d'arriver au même résultat. Il est plus commode d’utiliser l'une ou l'autre selon la situation. On apprendra à déceler les situations qui se prêtent le mieux à chacune des équations au fur et mesure que l'ont traitera des cas différents.
d'où
et donc
Soit