Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction

Exercice 4-1

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$.

Solution

$f(x)=\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$ donc $f'(x)=(-2x-1)\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline &&&{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}&&\\f(x)&&\nearrow &&\searrow &\\&0&&&&0\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 4-2

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$.

Solution

$f(x)=2\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$ donc $f'(x)=4(x+1)\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {2}{\mathrm {e} }}&&\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 4-3

Soit $f$ définie par $f(x)={\sqrt {8-x^{3}}}$.

Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variations, avec les valeurs de $f$ et $f'$ en $0$ et leurs limites aux bornes.

Solution

$f$ est définie sur $\left]-\infty ,2\right]$ et dérivable sur $\left]-\infty ,2\right[$, avec $f'(x)={\frac {-3x^{2}}{2{\sqrt {8-x^{3}}}}}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&0&&2\\\hline f'(x)&-\infty &-&0&-&-\infty \\\hline &+\infty &&&&\\f(x)&&\searrow &&&\\&&&2{\sqrt {2}}&&\\&&&&\searrow &\\&&&&&0\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 4-4

Soit $f$ définie sur $\mathbb {R} \setminus \{1\}$.

On donne ci-dessous son tableau de variations sur $\left]1,+\infty \right[$ :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1&&3&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {5}{2}}&&\\\hline \end{array}}$

De plus on admet que sur son domaine, $f$ peut s'écrire sous la forme

$f(x)=ax+{\frac {b}{x-c}}$ où $a,b,c\in \mathbb {R}$.

1. Déterminer $c$.
2. Calculer $f'$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
3. Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de $f$. En déduire une seconde relation entre $a$ et $b$.
4. Déterminer $a$ et $b$.
5. Montrer que la représentation graphique de $f$ admet un centre de symétrie.

Solution

1. L'asymptote verticale a pour abscisse $c=1$.
2. $f'(x)=a-{\frac {b}{(x-c)^{2}}}$ donc $0=f'(3)=a-{\frac {b}{(3-1)^{2}}}$, soit $b=4a$.
3. ${\frac {5}{2}}=f(3)=3a+{\frac {b}{3-1}}=3a+{\frac {b}{2}}$, soit $6a+b=5$.
4. $5-6a=4a\Rightarrow a={\frac {1}{2}}$, et $b=4a=2$.
5. $f(1+t)={\frac {1+t}{2}}+{\frac {2}{t}}=g(t)+{\frac {1}{2}}$ avec $g$ impaire, donc le graphe de $f$ est symétrique par rapport au point $(1,1/2)$.

 

Exercice 4-5

Soit $f$ définie par $f(x)={\frac {1}{(x-1)^{2}}}\operatorname {e} ^{\frac {x+1}{x-1}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites aux bornes.

Solution

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R} \setminus \{1\}$, avec $f'(x)={\frac {-2x}{(x-1)^{4}}}\operatorname {e} ^{\frac {x+1}{x-1}}$.

${\begin{array}{c|ccccccccc|}x&-\infty &&0&&&1&&&+\infty \\\hline &&&1/\mathrm {e} &&&{\Big \Vert }&+\infty &&\\f(x)&&\nearrow &&\searrow &&{\Big \Vert }&&\searrow &\\&0&&&&0&{\Big \Vert }&&&0\\\hline \end{array}}$