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Spectroscopie vibrationnelle/Vibration d'une molécule diatomique

Leçons de niveau 14
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Vibration d'une molécule diatomique
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Chapitre no 2
Leçon : Spectroscopie vibrationnelle
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Vibration d'une molécule diatomique[modifier | modifier le wikicode]

Si on considère une molécule diatomique composée de deux atomes connectés par une liaison chimique représentée par le ressort :

Molécule diatomique.

m₁ et m₂ sont les masses des atomes 1 et 2 respectivement, et r₁ et r₂ sont les distances par rapport au centre de gravité. La somme r₁ + r₂ correspond à la distance d'équilibre. x₁ et x₂ correspondent aux déplacements des atomes 1 et 2 par rapport à leurs positions d'équilibre.

D'après la loi de conservation du centre de gravité, on a les équations suivantes :

[Eq2-1]


[Eq2-2]

La combinaison de ces deux équations donne :

ou [Eq2-3]

Méthode classique[modifier | modifier le wikicode]

Le traitement classique de ce problème consiste à considérer la liaison chimique équivalente à un ressort de force f :

[Eq2-4]


K est la constante de raideur du ressort et le signe négatif indique que la direction de la force et celle du déplacement sont opposées. D'après les équations Eq2-3 et Eq2-4, on obtient :

[Eq2-5]

Si on applique la seconde loi de Newton pour chaque atome, on obtient :

[Eq2-6]


[Eq2-7]

En multipliant les équations Eq2-6 et Eq2-7 par (m₂ \ m₁+m₂) et (m₁ \m₁+m₂) respectivement on obtient :

[Eq2-8]

Pour simplifier l'équation, on introduit la masse réduite et la coordonnée réduite q :

[Eq2-9]

La résolution de cette équation différentielle est :

[Eq2-10]

q₀ est le déplacement maximum et est la phase qui dépend des conditions initiales. est la fréquence de vibration donnée par :

[Eq2-11]

L'énergie totale du système E est donnée par la relation :

[Eq2-12]

P et K sont respectivement l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du système.

Energie potentielle

L'énergie potentielle P est définie par :

[Eq2-13]

L'intégration de l'équation Eq2-13 donne :

[Eq2-14]

L'énergie cinétique du système K est définie par la relation :

[Eq2-15]

Par conséquent, l'énergie totale du système est égale à :

[Eq2-16]

La courbe montre la variation de l'énergie potentielle en fonction de la coordonnée réduite q. L'énergie évolue de manière parabolique en fonction de la coordonnée réduite q, P = 1\2 K q², avec E = T à q = 0 et E = V à q= ± q₀.

Ce type d'oscillateur est appelé un oscillateur harmonique.

Méthode quantique[modifier | modifier le wikicode]

D'un point de vue de la mécanique quantique, la vibration d'une molécule atomique est traitée comme le mouvement d'une particule ayant une masse μ dont l'énergie potentielle est définie par l'équation Eq 2-11. Dans ces conditions, l'équation de Schrödinger de ce système s'écrit :

[Eq2-17]

La résolution de l'équation Eq 2-17 conduit à la solution :

[Eq2-18]

avec la fréquence de vibration :

ou [Eq2-19]

Dans l'équation Eq2-18, ν est le nombre quantique de vibration et appartient à la famille des nombres entiers (0, 1, 2,… ). La famille de fonction d'onde vérifient l'équation Eq 2-17 :

[Eq2-20]

où α est égal à :

[Eq 2-21]

Il est à noter que les deux méthodes conduisent à la même équation de vibration du système. Mais, il y a quand même certaines divergences en fonction de la méthode utilisée.

  • Selon la méthode dite « classique », l'énergie totale du système est E = 0 quand q = 0. Avec la seconde méthode, l'état de plus basse énergie (ν = 0) a une énergie égale à (1/2)h ν (point d'énergie zéro), qui est une conséquence du principe d'incertitude d'Heisenberg.
  • D'après la description classique du système, l'énergie varie de manière continue, mais selon la mécanique quantique l'énergie du système ne peut varier que de quantité fixe et égale à h ν.
  • Enfin, la vibration est confinée dans la parabole selon la mécanique classique quand T devient négatif. En mécanique quantique, la probabilité de trouver q en dehors de la parabole est non-nulle, effet tunnel).
Comparaison des niveaux d'énergie pour l'Infrarouge et Raman.