Rayonnement du corps noir/Angles solides

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Les angles solides constituent une généralisation des angles plan aux situations dans l'espace. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude du rayonnement, ce chapitre est consacré à la définition et aux exemples en rapport. Il peut être considéré optionnel si la notion est déjà connue.

Définition

L'angle plan

Pour définir un angle solide, nous allons devoir définir ce qu'est un angle usuel dans le plan. Soit un cercle de rayon R et un arc de ce cercle délimité par un angle θ (mesuré en radians). Alors la longueur de l'arc est :

$L=R\theta \,$

On retrouve d'ailleurs le résultat célèbre donnant le périmètre d'un cercle pour un angle de 2π. La formule ci-dessus peut encore être écrite :

$\theta ={\frac {L}{R}}$

Ainsi, étant donné une mesure :

• de la longueur de l'arc ;
• du rayon du cercle ;

on peut en déduire une mesure de l'angle.

Angle plan

On définit l'angle plan θ formé entre deux points d'un cercle de rayon R par :

$\theta ={\frac {L}{R}}$

où L est la longueur de l'arc entre les deux points.

Angle solide

Un petit angle solide : d²Ω = sin θ dθ dφ.

Nous allons définir l'angle en trois dimensions — appelé angle « solide » — de manière analogue. On voudrait disposer d'une formule de la forme

$<\!\!\!<L=R\theta \,>\!\!\!>$

sauf que, dans notre cas précis :

• L serait une surface, et plus une longueur ;
• θ serait un angle solide, et plus un angle plan ;
• il faudrait prendre le carré de R, pour des raisons d'homogénéité.

Pour plus de clarté, on note S la surface et Ω l'angle solide. On cherche ainsi :

$S=R^{2}\Omega \,$

Ainsi, par analogie avec la définition de l'angle plan :

Angle solide

On définit l'angle solide Ω sur une sphère de rayon R par :

$\Omega ={\frac {S}{R^{2}}}$

où S est la surface formée sur la sphère. Un angle solide se mesure en unités SI en stéradians (sr).

Angle solide infinitésimal

De même, pour un angle infinitésimal, on a :

$\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {\mathrm {d} ^{2}S}{R^{2}}}$

C'est-à-dire, puisque d²S = R² sin θ dθ dφ :

$\mathrm {d} ^{2}\Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi \,$

avec dθ et dφ les angles balayés par la surface (voir schéma). Cette expression est parfois intéressante.

Remarques :

• Le plus grand angle solide mesurable, qui correspond à un objet couvrant toute la sphère, est de 4π stéradians.
• Chaque face d'un cube est vue depuis le centre du cube avec un angle solide 2π/3 stéradians.
• Dans le cas général, un polyèdre régulier pouvant être inscrit dans une sphère, chacune de ses faces est vue avec un angle solide 4π/n.

Cas particuliers

Surface plane

Soit une surface élémentaire plane dS, soit n un vecteur normal à dS. On note R la distance d'un point O à cette surface.

Alors l'angle sous lequel est vu dS depuis O est :

$\mathrm {d} \Omega ={\frac {1}{R^{2}}}\mathrm {d} S\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{r}\right)$

avec e_r le vecteur unitaire des coordonnées sphériques.

Objet sphérique

Un objet sphérique de rayon R est vu sous le même angle solide qu'un cercle de rayon R à la même distance.

Exemple

On dispose des informations suivantes :

• Rayon de la Lune : 1 740 km ;
• Distance Terre-Lune : 384 500 km ;
• Rayon du Soleil : 7.10⁵ km ;
• Distance Terre-Soleil : 150.10⁶ km.

Comparer l'angle solide sous lequel le Soleil et la Lune sont vues et commenter.

La surface occupée par la Lune est :

$S_{L}=\pi R_{L}^{2}$

L'angle solide sous lequel la Lune est vue est donc :

$\Omega _{L}={\frac {S_{L}}{D_{T-L}^{2}}}={\frac {\pi R_{L}^{2}}{D_{T-L}^{2}}}=6,434.10^{-5}\;\mathrm {sr}$

La surface occupée par le Soleil est :

$S_{S}=\pi R_{S}^{2}$

L'angle solide sous lequel le Soleil est vu est donc :

$\Omega _{S}={\frac {S_{S}}{D_{T-S}^{2}}}={\frac {\pi R_{S}^{2}}{D_{T-S}^{2}}}=6,842.10^{-5}\;\mathrm {sr}$

On remarque que ces deux valeurs sont proches — en fait, les données fournies étant approximatives, elles sont plus ou moins proches — ce qui explique notamment les éclipses « annulaires » lors desquelles la Lune occulte tout juste le Soleil.