Leçons de niveau 14

Rayonnement du corps noir/Angles solides

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Angles solides
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Chapitre no 3
Leçon : Rayonnement du corps noir
Chap. préc. :Lois expérimentales
Chap. suiv. :Lois thermodynamiques
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Rayonnement du corps noir/Angles solides
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Les angles solides constituent une généralisation des angles plan aux situations dans l'espace. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude du rayonnement, ce chapitre est consacré à la définition et aux exemples en rapport. Il peut être considéré optionnel si la notion est déjà connue.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

L'angle plan[modifier | modifier le wikicode]

Pour définir un angle solide, nous allons devoir définir ce qu'est un angle usuel dans le plan. Soit un cercle de rayon R et un arc de ce cercle délimité par un angle θ (mesuré en radians). Alors la longueur de l'arc est :

On retrouve d'ailleurs le résultat célèbre donnant le périmètre d'un cercle pour un angle de 2π. La formule ci-dessus peut encore être écrite :

Ainsi, étant donné une mesure :

  • de la longueur de l'arc ;
  • du rayon du cercle ;

on peut en déduire une mesure de l'angle.

Angle solide[modifier | modifier le wikicode]

Un petit angle solide : d²Ω = sin θ dθ dφ.

Nous allons définir l'angle en trois dimensions — appelé angle « solide » — de manière analogue. On voudrait disposer d'une formule de la forme

sauf que, dans notre cas précis :

  • L serait une surface, et non plus une longueur ;
  • θ serait un angle solide, et non plus un angle plan ;
  • il faudrait prendre le carré de R, pour des raisons d'homogénéité.

Pour plus de clarté, on note S la surface et Ω l'angle solide. On cherche ainsi :

Ainsi, par analogie avec la définition de l'angle plan :



Remarques :

  • Le plus grand angle solide mesurable, qui correspond à un objet couvrant toute la sphère, est de 4π stéradians.
  • Chaque face d'un cube est vue depuis le centre du cube avec un angle solide 2π/3 stéradians.
  • Dans le cas général, un polyèdre régulier pouvant être inscrit dans une sphère, chacune de ses faces est vue avec un angle solide 4π/n.

Cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

Surface plane[modifier | modifier le wikicode]

Soit une surface élémentaire plane dS, soit n un vecteur normal à dS. On note R la distance d'un point O à cette surface.

Alors l'angle sous lequel est vu dS depuis O est :

avec er le vecteur unitaire des coordonnées sphériques.

Objet sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Un objet sphérique de rayon R est vu sous le même angle solide qu'un cercle de rayon R à la même distance.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On dispose des informations suivantes :

  • Rayon de la Lune : 1 740 km ;
  • Distance Terre-Lune : 384 500 km ;
  • Rayon du Soleil : 7.10⁵ km ;
  • Distance Terre-Soleil : 150.10⁶ km.

Comparer l'angle solide sous lequel le Soleil et la Lune sont vus et commenter.


La surface occupée par la Lune est : L'angle solide sous lequel la Lune est vue est donc :

La surface occupée par le Soleil est : L'angle solide sous lequel le Soleil est vu est donc :

On remarque que ces deux valeurs sont proches — en fait, les données fournies étant approximatives, elles sont plus ou moins proches — ce qui explique notamment les éclipses « annulaires » lors desquelles la Lune occulte tout juste le Soleil.