Solide de Platon/Dodécaèdre

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Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. L’épure n^o 10 montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent les plis de la feuille : les cinq côtés de la face centrale RSUVW. Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?

Épure n^o 10.
Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.

Dans toute la rubrique, a sera la longueur des trente arêtes du solide, et d celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure n^o 10, UV = a. Et WS = φ a = d, où la lettre φ désigne le nombre d'or :

$\varphi \,=\,2\,\cos \,(\,36^{\circ }\,).$

$\varphi \,=\,{\tfrac {1}{2\cos \,(\,72^{\circ }\,)}}=\,{\tfrac {1\,+\,{\sqrt {5}}}{2}}.$

D’abord fut tracé le pentagone régulier convexe KLMNP, qui contient les six faces dépliées. En construisant son symétrique par rapport à son centre, on obtient le décagone régulier étoilé KFNCLAPEMB, de même centre G. Ses côtés contiennent ceux d’un décagone régulier convexe, en trait brun épais, dont H est un sommet.

Imaginons une vue animée de la feuille. La face centrale est fixe, une autre face tourne autour d’un pli. Imaginons l’animation obtenue en projetant la feuille orthogonalement sur le plan fixe de la face centrale. Si le seul pli qui fonctionne est [UV ], et si le plan fixe (RUV ) est horizontal, alors les trois sommets mobiles se déplacent dans des plans verticaux, sur trois cercles de même axe (UV ). Nommons J le sommet mobile qui se projette en K dans le dessin animé. Le plan (JUV ) tourne autour de [UV ], et J décrit un arc de cercle dans le plan médiateur de [UV ]. Son projeté K se déplace dans l’animation sur la médiatrice (RG ) de [UV ].

Dans ce mouvement, les images de deux sommets mobiles se déplacent sur deux droites parallèles tracées en vert, symétriques l’une de l’autre par rapport à (RG ). Sur l’un des deux trajets verts parallèles, un arc de cercle orangé entoure le point de départ. Une flèche prolonge l’arc de cercle, dirigée vers la fin du trajet. Quand ce point cerclé se déplace sur son trajet vert, perpendiculaire à (UV ), il bouge en même temps que K. Quand (LJ ) tourne dans l’espace, L est fixe sur la droite fixe du pli. Le point cerclé et K restent alignés avec le point fixe L tout le temps de leur mouvement dans le dessin.

Dans le cas où [VW ] est le seul pli utilisé, alors K est fixe. Le second point cerclé du dessin se déplace en même temps que L, leurs trajets parallèles sont perpendiculaires à (VW ). Le second point cerclé et L restent alignés avec le point fixe K pendant leur mouvement.

Plions maintenant les deux faces en même temps, en conservant leur symétrie par rapport au plan vertical fixe contenant (VE ). Les deux sommets représentés par les points cerclés se rencontrent en un point de ce plan de symétrie, quand les deux faces arrivent bord à bord. Le point d’arrivée des deux points cerclés est l’image d’un sommet du bord de la vasque, au point de concours des droites initiales (LC ), (KF ), et des deux trajets verts. Le point H est la position finale de K, à l’intersection de (LC ) et (RG ). Le décagone régulier en trait brun épais est le projeté du bord dentelé de la vasque sur (RUV ).

À partir du contour épais brun, on pourrait compléter le dessin de la vasque en ajoutant RSUVW et cinq segments, joignant chaque sommet de RSUVW au sommet le plus proche du contour. On dessine alors l’intérieur ou l’extérieur de la vasque, selon que le pliage a rapproché ou éloigné de nous les cinq faces mobiles pendant la formation de la vasque.

Autour de l’axe vertical de RSUVW, faire tourner la vasque d’un cinquième de tour transforme la vasque en elle-même, quel que soit le sens de rotation. Quelle que soit la face oblique de la vasque, son axe oblique coupe l’axe vertical de RSUVW au même point Ω, équidistant des quinze sommets de la vasque. Le projeté G de Ω sur le plan (RUV ) est le centre de symétrie du contour de la vasque, vue à la verticale dans l’épure n^o 10. Les épures 11 ou 12 montrent le même contour régulier dans leurs vues de dessus, et montrent en élévation l’égale répartition des dix sommets du bord de la vasque, dans deux plans horizontaux symétriques l’un de l’autre par rapport à Ω. Le calcul des trois hauteurs de Ω et des dix sommets du bord prouve cette symétrie en élévation. La conjonction des symétries centrales dans les deux projections, de dessus et en élévation, démontre la symétrie par rapport à Ω du bord dentelé de la vasque, dans l’espace à trois dimensions.

Les quinze sommets de la vasque appartiennent à une sphère de centre Ω. Une fois établie la symétrie du bord de la vasque par rapport à Ω, on ajoute à la figure le symétrique du fond de la vasque RSUVW par rapport à Ω. Et on obtient les vingt sommets du dodécaèdre sur une sphère de centre Ω. D’autres preuves de l’existence du dodécaèdre régulier convexe sont basées sur l’existence du cube, et des transformations géométriques qui le conservent. L’épure 12 montre deux cubes de même centre Ω que le dodécaèdre. Il sera question plus loin de ces deux cubes.

À partir de l’épure n^o 11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone KFNCLAPEMB ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. L’épure 14 ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.

Épure n^o 11.
Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.

Épure n^o 12.
En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.

Épure n^o 13.
Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.

Épure n^o 14.
Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.

Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω, la distance φ d, ou φ² a, est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par Ω et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.

En faisant tourner le dodécaèdre d’un cinquième de tour autour de l’axe commun de deux faces opposées, on obtient le même dodécaèdre. Une telle rotation conserve aussi toute section plane du solide par un plan perpendiculaire à l’axe de rotation, et parallèle à deux faces opposées. Un nombre infini de ces sections sont des pentagones réguliers convexes. Par exemple, le point T de l’épure n^o 12 appartient à l’axe de UVEKC. Si le rapport d’une homothétie de centre T est strictement compris entre 1 et φ, l’homothétie transforme la face opposée à UVEKC en une section régulière pentagonale. Quand une section parallèle à deux faces opposées n’est pas un pentagone, alors la section est un décagone convexe, conservé par une rotation d’un cinquième de tour autour de l’axe des deux faces. Ce décagone convexe a les sommets de deux pentagones réguliers isométriques et concentriques. Une telle section est un décagone régulier si et seulement si son plan passe par le centre du solide.

Dans l’épure n^o 11, le plan horizontal passant par Ω coupe dix arêtes en leurs milieux. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier aux côtés blancs. L’intersection de la sphère circonscrite au solide et du plan horizontal de la face inférieure est en pointillé vert dans la vue de dessus, avec sa vraie forme de cercle circonscrit à la face inférieure.

Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais dans l’épure 12. Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (ARΩ ) contient deux des quatre, [AR ] et son opposée. Les deux autres sont [FL ] et [PB ], symétriques l’une de l’autre par rapport à (ARΩ ). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [VU ] et son opposée.

La même épure n^o 12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. Cinq cubes sont ainsi associés au dodécaèdre de Platon, tous de la même taille et de même centre Ω. Étant donné un tel cube à l’intérieur du dodécaèdre, une diagonale de chaque face du dodécaèdre est une arête du cube.

L’homothétie de centre Ω et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.

La vue en élévation n^o 12 montre l’angle θ formé par deux faces d’un cube avec un plan horizontal. Dix arêtes du dodécaèdre communes à deux de ses faces obliques ont la même inclinaison. Des arcs de cercles indiquent deux angles adjacents de mesure θ. L’inclinaison d’une face oblique du dodécaèdre est le double de θ. L’angle de deux faces adjacentes est le supplément de ( 2 θ ). Deux lignes d’écriture inclinées renseignent sur θ. On peut déduire la valeur de θ de cette égalité : tan θ = φ – 1.

Dans les épures n^o 13 et n^o 14, la vue a la direction de (RΩ ). Deux sommets opposés du solide ont leurs images confondues avec celle de Ω. Le contour du dodécaèdre a douze côtés. Ce dodécagone est inscriptible dans un cercle, ses douze angles mesurent 150 °. En suivant le contour du solide, on rencontre une fois sur deux une arête en vraie grandeur, en alternance avec une image d’arête plus petite.

Deux sommets opposés du dodécaèdre sont les sommets opposés de deux cubes, qui ont leurs arêtes à la surface du dodécaèdre. Autour de leur diagonale commune, des rotations d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre conservent chacun des cubes et le dodécaèdre. Étant donnée une droite passant par deux sommets opposés, tous les autres sommets du dodécaèdre peuvent être groupés en sommets de triangles équilatéraux, conservés par les tiers de tour autour de la droite. Par exemple autour de (RΩ ), des tiers de tour conservent les triangles équilatéraux ASW et BMV.

ASW est une face d’une pyramide régulière de sommet R, d’axe (RΩ ). Par un plan perpendiculaire à (RΩ ), ou parallèle à (ASW ), une section de la pyramide est aussi une section du dodécaèdre. C’est une réduction de ASW par une homothétie de centre R. Un tel triangle est tracé en vert dans l’épure n^o 12. Une infinité de sections du solide sont des triangles équilatéraux.

Un tiers de tour autour de (RΩ ) conserve toute section du solide par un plan perpendiculaire à (RΩ ). Toujours inscriptible dans un cercle, une telle section aurait sa vraie forme dans l’épure n^o 13 ou n^o 14. Ce serait soit un triangle équilatéral, derrière ou devant le solide, soit un hexagone. Par exemple, les deux dernières épures donnent sa vraie forme à l’hexagone BUVFMN, sans le tracer. Comme toutes les sections hexagonales perpendiculaires à une droite passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre, BUVFMN est un hexagone de l’ensemble ℱ défini plus haut. Les éléments de ℱ sont des sections de trois sortes de solides différents par des plans idoines.

Parmi ces sections hexagonales, certaines sont des hexagones réguliers. Une même épure n^o 13 ou n^o 14 montre des hexagones réguliers de la même taille. Les vingt hexagones évoqués par la n^o 14 sont plus petits que les dix autres, dont les plans passent par Ω. Quand deux images d’arêtes de l’épure n^o 13 se coupent, l’une en trait plein et l’autre en pointillé, leur point d’intersection représente un sommet d’hexagone de l’épure n^o 14.

Le plan perpendiculaire en Ω à (RΩ ) coupe six arêtes du solide en leurs milieux, les sommets de l’hexagone rouge de l’épure n^o 13. L’un des hexagones réguliers de l’épure est déformé par la perspective, l’autre ne l’est pas.

Cette rubrique se termine en commentant l’épure n^o 14, jusqu’à conclure sur des icosaèdres. Afin de renseigner sur des rapports de longueurs, deux sortes de triangles pavent en partie une face du solide. Ils pourraient paver la face entière, ou toute la surface du solide. Tous ces triangles sont isocèles, deux d’une même sorte sont isométriques – superposables –.

Le plan d’une section partage six arêtes du solide dans le même rapport φ², ou φ + 1. La longueur du plus petit segment découpé est choisie comme longueur unité. Avec cette unité-là, 2 φ + 1 ou φ³ est la longueur des six côtés d’une section régulière.

La perspective déforme tous les triangles qui pavent une partie de RSUVW. Et l’unité de longueur indiquée en haut à droite a une image rapetissée. Mais en haut à gauche, le dessin montre les formes réelles de trois triangles assemblés en un pentagone régulier convexe, il montre la réelle unité de longueur. Avec cette unité-là un triangle bleu possède deux côtés de longueur φ, le nombre d’or, et un côté de longueur unité. Dans l’autre sorte de triangle, deux côtés mesurent l’unité de longueur, le troisième côté est de longueur φ.

L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω. L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (LB ) comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à Ω n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [AM ] en trait plein.

Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un dual du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre dual canonique du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre Ω.