Leçons de niveau 15

Solide de Platon/Contre-exemples

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Contre-exemples
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Chapitre no 8
Leçon : Solide de Platon
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Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut que toutes ses faces soient des polygones réguliers isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « diamant triangulaire », cet hexaèdre est convexe. Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, soit à quatre. Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.

Parce que les faces d’un polyèdre peuvent se couper, définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces d’un tétrahémihexaèdre, qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est ni régulier, ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre de l’épure no 1 par ABCHLU par exemple, ce serait incorrect parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.