Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

Leçons de niveau 14
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Cas particulier d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, une « onde progressive sinusoïdale » [2] le long de l'axe est une onde sinusoïdale du type

« » [3] telle que

     la « vibration observée à toute abscisse reproduit la vibration observée en avec le retard temporel » [4] suivant que la propagation se fait dans le sens ou de l'axe  :

  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive dans le sens des , l'O.P.H. [5] de pulsation s'écrit
    « » ;
  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive dans le sens des , l'O.P.H. [5] de pulsation s'écrit
    « ».

Notion de pulsation spatiale, vecteur d'onde[modifier | modifier le wikicode]

     L'O.P.H. [5] étant une fonction sinusoïdale de la variable [6], peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon « » [6] ; on en déduit que l'O.P.H. [5] est une fonction sinusoïdale à la fois :

  • du temps pour fixé avec une pulsation temporelle,
  • de la variable spatiale pour fixé avec une pulsation spatiale[7] ;

     on réécrit alors l'O.P.H. [5] «» [6].

On parle alors de « double périodicité spatio-temporelle » de l'onde.

Périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence[modifier | modifier le wikicode]

     « À fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant «» avec «» [6] est périodique de période temporelle et
             « À fixé », l'O.P.H. s'écrivant «» avec «» est périodique de fréquence temporelle ;
     « À fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire

«».

Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde[modifier | modifier le wikicode]

     « À fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant «» [6], [9] avec «» est périodique de période spatiale c.-à-d. « longueur d'onde » en et
                   « À fixé », l'O.P.H. s'écrivant «» avec «» est périodique de fréquence spatiale c.-à-d. « nombre d'onde » en  ;
     « À fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire

«» [6].

     Le vecteur d'onde peut être écrit selon

«» [4].

Lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

     La pulsation spatiale étant liée à la pulsation temporelle et la célérité de propagation par «», nous en déduisons la « période spatiale ou longueur d'onde» « » soit, compte tenu de la définition de la période temporelle «», la relation «».

     On en déduit aussi la longueur d'onde en fonction de la fréquence temporelle et la célérité de propagation selon

«».

     En conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. [5] quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :

  • si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit :
    si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la pulsation temporelle ,
    si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la fréquence temporelle ,
    si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la longueur d'onde ou période spatiale ,
    si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale et
    si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale  ;
  • si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit :
    si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la pulsation temporelle ,
    si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la période temporelle ,
    si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la longueur d'onde ou période spatiale ,
    si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale et
    si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale  ;
  • si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit :
    si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale ,
    si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale ,
    si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la période temporelle ,
    si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la fréquence temporelle et
    si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la pulsation temporelle .

     L'O.P.H. [5] peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :

«» [6].

Notion de déphasage de l'onde entre des points séparés d'une distance finie au même instant[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens
Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens

     La phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'abscisse étant «» [6]
     le signal au point d'abscisse est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse , de

«» [6] avec [10] ;


     ce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :

  • si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de » en notant , ce qui se traduit par le déphasage « » qui se réécrit « » voir ci-contre,


  • si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de » en notant , ce qui se traduit par le déphasage « qui se réécrit » voir ci-contre.

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase[modifier | modifier le wikicode]

     La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en phase s'écrit «» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

«» [11].

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase[modifier | modifier le wikicode]

     La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit « avec » soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

«» [12].

Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire à la définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le signal transporté par l'O.P.H. [5] au point d'abscisse et à l'instant s'écrivant «» [6], avec «», soit

«»,

     nous définissons le déphasage après avoir mis le signal sous la forme «» [13], avec «».

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux instants au même point

     Au lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents et , sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'instant est défini selon « » [6], [14], on en déduit que le signal à l'instant est déphasé par rapport au signal à l'instant considéré au même point de

« » [6] en notant  ;

     ce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :

  • si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et », le déphasage « » [15] que l'on peut réécrire «»,
  • si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et », le déphasage «» [16] que l'on peut réécrire «».

Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour la mesure de la célérité du son dans l'air
Enregistrement permettant de déduire la célérité du son dans l'air

     On dispose deux microphones à la distance l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones [17] ;
     l'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le 1er microphone étant envoyé sur la voie d'un oscilloscope numérique et celui capté par le 2ème microphone sur la voie du même oscilloscope numérique voir ci-contre à gauche ;

     le signal capté par le 1er microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope [18], on observe l'enregistrement ci-contre à droite :

     la distance étant mesurée avec précision emploi d'un banc gradué et le retard temporel étant également connu avec précision on estime aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope [19], on peut évaluer la célérité du son dans l'air par «» [20].

Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. [5] ultrasonore dans l'air

     Un émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. [21] à une fréquence [22], deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le 1er étant fixe et le 2ème mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies et d'un oscilloscope numérique ;
     sans réglage préalable sur le récepteur proche du récepteur , on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux [23] ;
     on déplace le récepteur de façon à ce que les signaux soient en phase [24], on repère alors la position du récepteur notée , et
     on poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une nème position notée  ;
     « la distance s'identifie alors à », ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. [5] ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que peut être grand ;
     connaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par «».

Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

     On reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies et de l'oscilloscope sont déphasés bien que le signal reçu par le récepteur soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur , il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement de l'oscilloscope ;

     on détermine le décalage « physique » temporel par curseurs de temps [19] et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal sur le signal par

« [4], [25] en » ou
«[4], [25] en ».       


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. C'est un abus c'est en fait le signal transporté qui a cette forme.
  2. Ou onde progressive harmonique noté en abrégé.
  3. Le caractère « linéaire » de la propagation conservation de la forme du signal lors de la propagation est effectivement vérifié sur cette onde et
       son caractère « non dispersif » célérité de la propagation indépendante de la fréquence n'apparaît pas dans la mesure où la fréquence d'une onde sinusoïdale ne varie pas raison pour laquelle « non dispersive » a été mis entre parenthèses.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 «» si la propagation est dans le sens des et «» si elle est dans le sens des .
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 et 5,16 Onde Progressive Harmonique.
  6. 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 et 6,11 «» si la propagation est dans le sens des et «» si elle est dans le sens des .
  7. La pulsation « spatiale » est, comme la pulsation temporelle, toujours , elle s'exprime en .
  8. est donc toujours dans le sens de la propagation.
  9. Si la propagation se fait dans le sens des , cette dernière expression pour que le cœfficient de soit , la phase « initiale » c.-à-d. en est alors alors que
       si la propagation se fait dans le sens des , , la phase « initiale » c.-à-d. en est .
  10. Si la propagation se fait selon les et si  c.-à-d. , et par suite le signal en est mathématiquement en « retard de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement en effet le déphasage physique étant défini à près, nous prenons sa détermination principale c.-à-d. celle dont la valeur absolue du reste est la plus petite lors de la division par , exemple admet pour détermination principale signal en physiquement en avance de phase sur le signal en  ;
       si la propagation se fait selon les et si c.-à-d. , et par suite le signal en est mathématiquement en « avance de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement même commentaire que ci-dessus.
  11. Avec «» si la propagation se fait dans le sens des et «» si elle se fait dans le sens des .
  12. Avec , «» si la propagation se fait dans le sens des soit et «» si elle se fait dans le sens des soit .
  13. Dans le but d'avoir une forme analogue à «», le cœfficient de la variable temporelle ou spatiale étant la pulsation temporelle ou spatiale .
  14. Dans le cas d'une propagation dans le sens des respectivement , l'O.P.H. est écrite sous la même forme .
  15. On rappelle que le signal est mis sous la forme avec « » d'où «» « »
  16. On rappelle que le signal est mis sous la forme avec « » d'où «» « »
  17. Avec toutefois un léger décalage transversal de façon à ce que le 1er microphone ne fasse pas obstacle à l'onde sonore que doit recevoir le 2ème.
  18. Voir le T.p. intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       On choisit un niveau de déclenchement ni trop faible pour éviter qu'un signal parasite ne déclenche l'enregistrement, ni trop intense pour que l'enregistrement ne nécessite de taper très fort sur le socle.
  19. 19,0 et 19,1 Voir le T.p. intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  20. On s'attend à trouver à , elle ne serait que de à .
  21. Générateur Basse Fréquence.
  22. Pour que cette onde soit ultrasonore il faut une fréquence .
  23. Le déphasage serait nul s'il était possible que le récepteur coïncide avec le récepteur , ce qui n'étant pas possible implique un déphasage ; de plus le signal reçu par le récepteur est légèrement atténué relativement au signal reçu par le récepteur .
  24. On peut le vérifier plus aisément en réglant l'oscilloscope en fonctionnement , l'ellipse observée si les signaux ne sont pas en phase, se réduit à un segment de droite de pente positive quand ceux-ci deviennent en phase voir le T.P. intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  25. 25,0 et 25,1 On rappelle que le signal qui est « physiquement » en avance sur l'autre est celui qui « coupe » l'axe des temps en en 1er sachant que, pour qu'il soit considéré comme « coupant » en en 1er, le décalage temporel doit être inférieur à  ;
       si le signal « coupe » l'axe des temps en en 1er relativement au signal on a d'où le signe «» sinon c'est un signe «».