Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode

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Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode
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Exercices no33
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Filtrage linéaire : signaux périodiques
Exo suiv. :Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode
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Sommaire

Fonction de transfert d'un filtre R C série avec sortie aux bornes de C, diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit R C série en r.s.f. alimenté sous e(t) avec sortie ouverte s(t) aux bornes de C

......Le circuit ci-contre est alimenté par une tension sinusoïdale . Pour la suite on notera et les représentations complexes associées aux grandeurs sinusoïdales et .

Étude théorique[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre ainsi que de son gain en dB et de sa phase[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer l'amplification complexe en tension du filtre en fonction des paramètres du circuit et de la pulsation imposée par le générateur.

......En déduire le gain en dB du filtre et

......En déduire sa phase .

Tracé des courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, principales propriétés du filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer les courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, on précisera :

  • le comportement asymptotique B.F. et H.F.,
  • le transfert statique,
  • la fréquence de coupure à -3dB ,
  • la nature du filtre,
  • la bande passante à -3dB et
  • la valeur de la phase à la fréquence de coupure.

Applications numériques[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer le gain statique en dB et la fréquence de coupure à -3dB pour les filtres suivants :

  • filtre construit avec et ,
  • filtre construit avec et .

Étude expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit R C série en r.s.f. alimenté sous e(t) avec sortie s(t) aux bornes de C fermée sur un oscilloscope modélisé par R0 en parallèle sur C0

......Dans l'étude expérimentale de ces filtres, on mesure les valeurs de crête de et en envoyant la tension correspondante à l'entrée d'un oscilloscope cathodique, par l'intermédiaire d'un câble coaxial.

......Si le tracé expérimental de la courbe de gain du diagramme de Bode donne une courbe tout à fait voisine de la courbe théorique pour le filtre , il n'en est pas du tout de même pour le filtre pour lequel ainsi que et on cherche à justifier les écarts observés en modélisant l'oscilloscope fonctionnant en r.s.f. par son impédance complexe d'entrée, le D.P. d'entrée de l'oscilloscope étant un condensateur parfait de capacité [4] en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance [5] (voir schéma ci-contre).

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope utilisé et ses principales propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer la nouvelle amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope et vérifier qu'il s'agit d'un filtre de même nature que le filtre en sortie ouverte.

......En déduire le nouveau gain statique en dB du filtre et

......En déduire sa nouvelle fréquence de coupure à -3dB

......dû à la fermeture du filtre sur l'oscilloscope.

Applications numériques et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer le gain statique en dB et la fréquence de coupure à -3dB pour les filtres et .

......L'expérience donne pour le filtre le gain statique en dB . Commenter les résultats.

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale ou en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre L et d'un conducteur ohmique de résistance R en série, de tension d'entrée uE et de tension de sortie ouverte uS aux bornes du conducteur ohmique

Sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le quadripôle série, représenté sur le schéma ci-contre [7], de tension d'entrée et de sortie ouverte .

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension étant la tension permanente imposée en entrée et la tension permanente de sortie (ouverte)].

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension [8] en régime sinusoïdal forcé en fonction de et la constante de temps du série

......et retrouver la valeur de trouvée à la question précédente.

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du filtre construit[modifier | modifier le wikicode]

......Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

......en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Sortie ouverte aux bornes de la bobine parfaite[modifier | modifier le wikicode]

......Après permutation du conducteur ohmique et de la bobine parfaite on reprend les mêmes questions.

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du nouveau filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension étant la tension permanente imposée en entrée et la tension permanente de sortie (ouverte)].

Détermination de l'amplification complexe en tension du nouveau filtre fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension [8] en régime sinusoïdal forcé en fonction de et la constante de temps du série

......et retrouver la valeur de trouvée à la question précédente.

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du nouveau filtre construit[modifier | modifier le wikicode]

......Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

......en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre L et d'un conducteur ohmique de résistance R en parallèle, d'intensité de courant d'entrée iG et de tension de sortie ouverte uS aux bornes de l'ensemble

......Soit le circuit linéaire parallèle, représenté sur le schéma ci-contre, commandé par un générateur de courant parfait de c.e.m. .

Détermination de l'expression de la transimpédance complexe du filtre commandé en courant et fonctionnant en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'expression de la transimpédance complexe [13], en régime sinusoïdal forcé en fonction de , et la constante de temps du montées en parallèle.

......En déduire l'expression de la transrésistance [14] de ce filtre.

Définition et allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre commandé en courant fonctionnant en r.s.f. avec précision de ses principales propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......Pour pouvoir définir un diagramme de Bode associé à une transimpédance complexe, on introduit le gain associé à cette impédance complexe de transfert par  ; ainsi ce gain est une grandeur sans unité.

......Définir et donner l'allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre ainsi construit

......en précisant les principales propriétés de ce dernier.

Réponse en uC(t) d'une association parallèle R C soumise, à travers un bobine parfaite d'inductance propre L, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre L, le tout étant sous tension sinusoïdale

......On considère le circuit ci-contre constitué d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance et d'un condensateur de capacité montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre  ; il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale [17].

Détermination de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'association parallèle R C, réduction canonique et précision du type de filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Cherchant à déterminer la tension commune aux bornes de l'association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance et du condensateur de capacité dans le régime sinusoïdal forcé imposé par le générateur, on adopte le traitement complexe du problème et on demande d'exprimer l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de montées en parallèle [18] en fonction des données du problème ;

......en faire la réduction canonique [19], [20] ;

......de quel type de 2ème ordre s'agit-il, du type « réponse en , en ou en d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » ?

Établissement de la condition de résonance de la réponse en tension aux bornes de l'association parallèle R C[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire de la tension efficace complexe la tension efficace [23] puis

......déterminer la condition de résonance de la tension commune aux bornes de l'association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance et du condensateur de capacité  ; on rappellera la valeur de la pulsation de résonance dans ce cas.

Sous la condition de résonance trouvée, tracé du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension ouverte aux bornes de l'association parallèle R C en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où il y a résonance, représenter le diagramme de Bode [26] associé à l'amplification complexe en tension [20] en fonction de la fréquence réduite, la tension efficace étant constante.

Modélisation du filtre d'antenne d'un récepteur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de modélisation d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur, le signal d'entrée proportionnel au signal reçu par l'antenne étant sinusoïdal de pulsation ω et de valeur de crête Em

......L'association d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur est modélisée par le schéma équivalent électrique représenté ci-contre dans lequel le condensateur est variable de capacité à déterminer, avec les valeurs numériques , [29] ;

......la source de tension résultant du signal reçu par l'antenne et lui étant proportionnel est de f.e.m. que l'on suppose sinusoïdale de forme avec pour valeur de crête ;

......la tension aux bornes du condensateur modélise la tension disponible à l'étage d'entrée du récepteur.

Détermination de la plage de variation de la capacité du condensateur pour pouvoir capter un ensemble de canaux de fréquences fixées[modifier | modifier le wikicode]

......On prélève le signal aux bornes du condensateur ; pour un canal donné, on doit ajuster la valeur de pour obtenir une résonance aiguë autour de la fréquence centrale du canal.

......Quelle plage de variation de la valeur de faut-il prévoir si l'ensemble des canaux susceptibles d'être captés s'étalent entre et  ?

Choix de la résistance R pour allier sensibilité et sélectivité du récepteur envers un canal fixé[modifier | modifier le wikicode]

......Dans la suite on raisonne sur un canal de fréquence [30] ;

......on introduit l'aspect « sensibilité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité du récepteur de pouvoir capter toutes les fréquences de ce canal pour avoir accès à toute l'information contenue dans ce canal et

......on introduit l'aspect « sélectivité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité de réglage du récepteur pour ne pas capter une partie d'un éventuel signal d'un canal adjacent.

......Montrer qu'il existe un compromis sur le choix de la résistance pour tenir compte des aspects « sensibilité » et « sélectivité » du récepteur.

Détermination de la résistance R et de la capacité C pour une valeur de bande passante à -3dB fixée[modifier | modifier le wikicode]

......La bande passante à -3dB ayant pour valeur , déterminer les valeurs de et qui conviennent.

Détermination de la valeur de crête de la tension captée à l'entrée du récepteur[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle est la valeur de crête de la tension captée à l'entrée du récepteur et proportionnelle au signal sélectionné dans le canal choisi précédemment ?

Coupe-bande du 2ème ordre avec gain minimal non nul[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction de transfert du 2ème ordre [33] est dite « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul » ssi sa forme normalisée usuelle s'écrit selon

avec transfert statique homogène au transfert harmonique,
homogène au carré d'une constante de temps, homogène à une constante de temps et
homogène au transfert harmonique multiplié par une constante de temps telle que [34].

Détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un coupe-bande du 2ème ordre avec gain minimal non nul[modifier | modifier le wikicode]

......Définir la pulsation propre ainsi que le facteur de qualité du filtre du 2ème ordre introduit puis

......en déduire que la forme canonique réduite de ce filtre s'écrit en introduisant la pulsation réduite et la grandeur sans dimension.

Détermination de la forme canonique réduite pratique d'un coupe-bande du 2ème ordre avec gain minimal non nul[modifier | modifier le wikicode]

......Une forme canonique est dite « pratique » quand son dénominateur a été mis en fonction de la grandeur fonction croissante de la pulsation réduite [35] et que son numérateur est constant ou fonction uniquement de  ;

......déterminer la forme canonique réduite « pratique » de ce filtre en divisant haut et bas par puis en divisant le terme du numérateur et du dénominateur autre que 1  par .

Expression du gain d'un coupe-bande du 2ème ordre avec gain minimal non nul et sa variation en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer le gain [36] de ce filtre et

......étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite (ou pulsation réduite) et

......vérifier que la grandeur sortante entre en antirésonance pour la fréquence propre du filtre.

Condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la condition pour que ce filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences)[39] ainsi que

......Déterminer la bande non passante à -3dB et

......Déterminer l'acuité de l'antirésonance .

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer la courbe de gain du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite avec un transfert statique , un facteur de qualité et un cœfficient en

......précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que la valeur minimale du gain en dB,

......précisant les valeurs des fréquences réduites de coupure à -3dB et l'acuité d'antirésonance.

Étude de la variation de la phase du filtre en fonction de la fréquence réduite et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer la phase du filtre à partir de la forme canonique réduite pratique de sa fonction de transfert soit puis

......étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite  ;

......tracer la courbe de phase du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite avec un transfert statique , un facteur de qualité et un cœfficient en

......précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que

......précisant les valeurs des fréquences réduites correspondant à un minimum ou un maximum de phase avec la valeur de ces derniers.