Leçons de niveau 9

Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège

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Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

A partir des propriétés des symétries[modifier | modifier le wikicode]

Axiomes[modifier | modifier le wikicode]

Par deux points distincts, il passe une et une seule droite[modifier | modifier le wikicode]

Par un point, il ne passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée[modifier | modifier le wikicode]

Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée[modifier | modifier le wikicode]

La symétrie axiale ne change pas les longueurs[modifier | modifier le wikicode]

Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite D, alors AB = A'B'

La symétrie axiale ne change pas les angles[modifier | modifier le wikicode]

Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite D, alors :

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu[modifier | modifier le wikicode]

Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

Parallèles et sécantes[modifier | modifier le wikicode]

Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (parallèles), soit tous (confondues)[modifier | modifier le wikicode]

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : "Par deux points distincts, il passe une et une seule droite".

Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

Prenons D et D' parallèles. Si D est parallèle à D et sécante avec D'. Soit I le point d'intersection, alors D et D' sont parallèles à D passant par le même point. Ceci contredit cet axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée".

Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit :

  • parallèle : dans ce cas l'autre le serait aussi.
  • confondue : mais alors ne pourrait pas être sécante à la première.

Autres propriétés des symétries axiales[modifier | modifier le wikicode]

Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie.[modifier | modifier le wikicode]

Évident par définition de la symétrie axiale.

L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine[modifier | modifier le wikicode]

Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'. Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

Droites parallèles et perpendiculaires[modifier | modifier le wikicode]

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles[modifier | modifier le wikicode]

D et D' sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : "Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie", D et D' sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' le symétrique de O par rapport à (AB) appartient aussi à D et à D', qui ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

Soit D et D' les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre". Soit la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à D et qui sont donc parallèles d’après la propriété : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles". Mais alors l’image de D par rapport à est parallèle à D (d'après la propriété : "L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"), et passe par B. De plus par l'axiome : "La symétrie axiale ne change pas les angles" et l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée" elle est égale à D'. Donc D' est parallèle à D.