Leçons de niveau 14

Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

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Série de Fourier
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Chapitre no 1
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
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Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier
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Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps d'une grandeur notée .

Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

  • La période est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : .
  • La fréquence , exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
  • La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime .

30x-Checkmark.png

Théorème

Tout signal périodique de période peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de .

La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réels[modifier | modifier le wikicode]

Dans le domaine temporel[modifier | modifier le wikicode]

Si est une grandeur périodique de période , et un entier alors :

ou de façon condensée :

30x-Checkmark.png

,

ou

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit  :

30x-Checkmark.png

,

,

,

.

30x-Chat.png

Remarques

  • On peut observer que représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur  ;
  • La fonction est nommée harmonique de rang  ;
  • L'harmonique de rang 1 est nommé fondamental ;
  • représente l'amplitude de l'harmonique de rang  ;
  • est la phase à l'origine de l’harmonique de rang .
  • Si est une fonction paire, , alors , .
  • Si est une fonction impaire, , alors , .

Dans le domaine des angles[modifier | modifier le wikicode]

On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation et de période ,sachant que , on applique le changement de variable . Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

30x-Checkmark.png

,

avec, et quel que soit ,

,

.

Coefficients complexes[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.

30x-Checkmark.png

,

avec, et quel que soit ,

.

30x-Chat.png

Remarques

  • Le module de correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine de l'harmonique de rang  :
 ;
.
  • représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur .