Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

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Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps $t$ d'une grandeur notée $y(t)$.

Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

• La période $T$ est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : $y(t+T)=y(t)$.
• La fréquence $f={\frac {1}{T}}$, exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
• La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime $\omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}$.

Théorème Tout signal périodique de période $T$ peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de $1/T$.

La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réels

Dans le domaine temporel

Si $y(t)$ est une grandeur périodique de période $T$, et $n$ un entier alors :

${\begin{aligned}y(t)={\frac {A_{0}}{2}}&+A_{1}\cdot \cos(\omega \cdot t)+A_{2}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t)+\ldots +A_{n}\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t)\\\ &+B_{1}\cdot \sin(\omega \cdot t)+B_{2}\cdot \sin(2\cdot \omega \cdot t)+\ldots +B_{n}\cdot \sin(n\cdot \omega \cdot t)+\ldots \end{aligned}}$

ou de façon condensée :

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t\right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\right]}$, ou $y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{C_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n}\right)}$

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit $t_{0}$ :

$A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t)\cdot \mathrm {d} t$, $B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \sin(n\cdot \omega \cdot t)\cdot \mathrm {d} t$, $C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}$, $\varphi _{n}=-\arctan {\frac {B_{n}}{A_{n}}}$.

Détails supplémentaires

$C_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n}\right)=C_{n}\cdot \left[\cos \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\cdot \cos \varphi _{n}-\sin \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\cdot \sin \varphi _{n}\right]$

${\begin{cases}A_{n}=C_{n}\cdot \cos \varphi _{n}\\B_{n}=-C_{n}\cdot \sin \varphi _{n}\end{cases}}$

${\begin{cases}A_{n}^{2}+B_{n}^{2}=C_{n}^{2}\\{\frac {B_{n}}{A_{n}}}={\frac {-C_{n}\cdot \sin \varphi _{n}}{C_{n}\cdot \cos \varphi _{n}}}=-\tan \varphi _{n}\end{cases}}$

 

Remarques On peut observer que ${\frac {A_{0}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \mathrm {d} t=\left\langle y(t)\right\rangle$ représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur $y$ ; La fonction $y_{n}(t)=C_{n}\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n})$ est nommée harmonique de rang $n$ ; L'harmonique de rang 1 est nommé fondamental ; $C_{n}$ représente l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ ; $\varphi _{n}$ est la phase à l'origine de l’harmonique de rang $n$. Si $y(t)$ est une fonction paire, $y(-t)=y(t)$, alors $\forall n$, $B_{n}=0$. Si $y(t)$ est une fonction impaire, $y(-t)=-y(t)$, alors $\forall n$, $A_{n}=0$.

Dans le domaine des angles

On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ et de période $T$,sachant que $2\pi =\omega T$, on applique le changement de variable $\theta =\omega t$. Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

$y(\theta )={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \theta \right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \theta \right)\right]}$, avec, et quel que soit $\alpha _{0}$, $A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta$, $B_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \sin(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta$.

Coefficients complexes

En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.

$y(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{D_{n}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}$, avec, et quel que soit $\alpha _{0}$, $D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta$.

Relation entre coefficients réels et coefficients complexes : démonstration.

Partant de l’expression de $y(\theta )$ périodique de période $2\pi$,

$y(\theta )={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \theta \right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \theta \right)\right]}$,

et en exprimant, à l'aide des formules d'Euler,

$\cos(n\cdot \theta )={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }+e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2}}$,

$\sin(n\cdot \theta )={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }-e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2\cdot \mathrm {j} }}$,

il vient :

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }+e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2}}+B_{n}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }-e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2\cdot \mathrm {j} }}\right]}$,

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}+\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{-\mathrm {j} n\theta }}$,

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{{\frac {A_{-n}+\mathrm {j} \cdot B_{-n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}$.

Or d'après les définitions des $A_{n}$ et $B_{n}$ : $A_{-n}=A_{n}$ et $B_{-n}=-B_{n}$, d'où :

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}$.

En observant que $B_{0}=0$, on peut poser : $D_{n}={\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}$. $y(\theta )$ peut alors s'exprimer :

$y(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{D_{n}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}$.

Pour exprimer les coefficients $D_{n}$, on remplace les coefficients $A_{n}$ et $B_{n}$ par leur expression.

$D_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }f(\theta )\cdot {\frac {\cos(n\cdot \theta )-\mathrm {j} \cdot \sin(n\cdot \theta )}{2}}\cdot \mathrm {d} \theta$

$D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }f(\theta )\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta$

 

Remarques Le module de $D_{n}$ correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine de l'harmonique de rang $n$ : $|D_{n}|={\frac {\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}{2}}={\frac {C_{n}}{2}}$ ; $\mathrm {arg} (D_{n})=\tan {\frac {-B_{n}}{A_{n}}}=\varphi _{n}$. $D_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta =\left\langle y(\theta )\right\rangle$ représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur $y$.