Série et transformée de Fourier en physique/Propriétés de la transformée de Fourier

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Expressions en fonction de la fréquence $f$

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	$a\cdot s_{1}(t)+b\cdot s_{2}(t)$	$a\cdot {\hat {s}}_{1}(f)+b\cdot {\hat {s}}_{2}(f)$
Contraction du domaine	$s(a\cdot t)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot {\hat {s}}(f/a)$
Translation temporelle	$s(t+t_{0})$	${\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .2\pi .f.t_{0}}$
Modulation dans le domaine temporel	$s(t)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$	${\hat {s}}(f-f_{0})$
Produit de convolution	$s_{1}*s_{2}(t)\$	${\hat {s}}_{1}(f)\cdot {\hat {s}}_{2}(f)$
Produit de corrélation	$s_{1}(t)\cdot s_{2}(t)$	${\hat {s}}_{1}*{\hat {s}}_{2}(f)$
Dérivation	$s'(t)\$ (sous conditions)	$\mathrm {j} \cdot 2\pi \cdot f\cdot {\hat {s}}(f)$
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
	gaussienne	gaussienne

Égalité de Parseval

L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle.

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}~\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {x}}(f)|^{2}~\mathrm {d} f.$

'Démonstration'

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot x(t)^{*}\cdot \mathrm {d} t$

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }\underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi ft}\cdot \mathrm {d} f\right)} _{x(t)={\mathcal {F}}^{-1}({\hat {x}}(f))}\cdot \underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f')\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi f't}\cdot \mathrm {d} f'\right)^{*}} _{x(t)^{*}}\cdot \mathrm {d} t$

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot {\hat {x}}^{*}(f')\cdot \left(\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi (f-f')t}\cdot \mathrm {d} t\right)\cdot \mathrm {d} f\cdot \mathrm {d} f'$

L’expression entre parenthèses est égale à la TF de la fonction unité, calculée à la fréquence $f'-f$ soit un pic de Dirac à la fréquence $f'$ : $\delta (f-f')$.

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot \underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}^{*}(f')\cdot \delta (f-f')\cdot \mathrm {d} f'\right)} _{{\hat {x}}^{*}(f)}\cdot \mathrm {d} f$

$E=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot {\hat {x}}^{*}(f)\cdot \mathrm {d} f$

 

Plus de détails dans l’article wikipédia : Égalité de Parseval.

Expressions en fonction de la pulsation $\omega$

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	$a\cdot s_{1}(t)+b\cdot s_{2}(t)\$	$a\cdot {\hat {s}}_{1}(\omega )+b\cdot {\hat {s}}_{2}(\omega )\$
Contraction du domaine	$s(a\cdot t)\$	${\frac {1}{|a|}}\cdot {\hat {s}}(\omega /a)\$
Translation temporelle	$s(t+t_{0})\$	${\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .\omega .t_{0}}\$
Modulation dans le domaine temporel	$s(t)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t\omega _{0}}$	${\hat {s}}(\omega -\omega _{0})$
Produit de convolution	$s_{1}*s_{2}(t)\$	${\hat {s}}_{1}(\omega )\cdot {\hat {s}}_{2}(\omega )\$
Produit de corrélation	$s_{1}(t)\cdot s_{2}(t)$	${\frac {1}{2\pi }}{\hat {s}}_{1}*{\hat {s}}_{2}(\omega )\$
Dérivation	$s'(t)\$ (sous conditions)	$\mathrm {j} \cdot \omega \cdot {\hat {s}}(\omega )$
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
	gaussienne	gaussienne