Série de Fourier/Exercices/Étude de fonction

Soit la fonction f de $ℝ$ vers $ℝ$ définie comme suit :

$\{\begin{array}{c}f\text{ est paire }\\ f\text{ est périodique et a pour période }2\pi \\ f(t)=1-\sin t\text{ si }0\le t\le \pi \end{array}$

1. Représenter graphiquement f sur l'intervalle $[-2\pi ;2\pi ]$. Le plan sera muni d'un repère orthogonal : 2 cm en abscisse et 5 cm en ordonnées).

On se propose de calculer les coefficients $a_n$ et $b_n$ du développement en série de Fourier de la fonction f

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $b_n=0$

3. Calculer $a_0$

4. Calculer $a_1$

5. Calculer $a_n$ en fonction de n pour $n\ge 2$. En déduire $a_{2p}=\frac{4}{\pi (4p^2-1)}$ et $a_{2p+1}=0$

6. Écrire un développement en série de Fourier de la fonction f

Solution

1. À faire.
2. $\mathrm{\forall }n,b_n=0$ car f est paire.
3. $a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-\sin (t))dt=\frac{2\pi }{\pi }-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (t)dt=2-\frac{4}{\pi }$
4. $a_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-\sin (t))\cos (t)dt=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (t)dt-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (2t)dt=\frac{2}{\pi }\times 0-0=0$
5. On a :
   $\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-\sin (t))\cos (nt)dt\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (nt)dt-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (t)\cos (nt)dt\\ & =0-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin ((n+1)t)dt+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin ((n-1)t)dt\\ & =\frac{1}{\pi }[\frac{1-(-1{)}^{n-1}}{n-1}-\frac{1-(-1{)}^{n+1}}{n+1}]\end{array}$
   car $\cos (k\pi )=(-1{)}^k$.
   Donc $a_n=\frac{1+(-1{)}^n}{\pi }\frac{2}{n^2-1}$.
   Le numérateur s'annule pour n impair, et vaut 4 pour n pair, d'où la formule souhaitée.
6. Connaissant les valeurs de tous les coefficients de Fourier trigonométriques, on écrit :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=1-\frac{2}{\pi }+\frac{4}{\pi }\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2px)}{4p^2-1}$

 

Soit la fonction g définie sur $ℝ$ par : $g(t)=1-\frac{2}{\pi }+\frac{4}{3\pi }\cos 2t+\frac{4}{15\pi }\cos 4t$

7. Démontrer que g est paire, qu'elle est périodique et admet pour période $\pi$

On étudie g sur l'intervalle $[0;\frac{\pi }{2}]$

8. Calculer g'(t) et démontrer que l’on a $g^{\prime }(t)=\frac{-8}{3\pi }(\sin 2t)(1+\frac{4}{5}\cos 2t)$.

9. En déduire le sens de variation de g sur l'intervalle $[0;\frac{\pi }{2}]$

10. Sur le graphique de la question 1 dessiner la courbe représentative de g sur $[0;\frac{\pi }{2}]$. On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et $\frac{\pi }{2}$

Solution

7. La parité et la périodicité de g sont évidentes, parce que la fonction cosinus est paire et périodique. Un simple calcul montre que $g(x+\pi )=g(x)$

8. $g^{\prime }(t)=-\frac{8}{3\pi }\sin (2t)-\frac{16}{15\pi }\sin (4t)$

Pour factoriser, il suffit de remarquer que $\sin (4t)=2\cos (2t)\sin (2t)$