En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude de fonction
Série de Fourier/Exercices/Étude de fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit la fonction f de
vers
définie comme suit :
1. Représenter graphiquement f sur l'intervalle
. Le plan sera muni d'un repère orthogonal : 2 cm en abscisse et 5 cm en ordonnées).
On se propose de calculer les coefficients
et
du développement en série de Fourier de la fonction f
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :
3. Calculer
4. Calculer
5. Calculer
en fonction de n pour
. En déduire
et
6. Écrire un développement en série de Fourier de la fonction f
Soit la fonction g définie sur
par :
7. Démontrer que g est paire, qu'elle est périodique et admet pour période
On étudie g sur l'intervalle
8. Calculer g'(t) et démontrer que l’on a
.
9. En déduire le sens de variation de g sur l'intervalle
10. Sur le graphique de la question 1 dessiner la courbe représentative de g sur
. On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et
Solution
7. La parité et la périodicité de g sont évidentes, parce que la fonction cosinus est paire et périodique. Un simple calcul montre que
8.
Pour factoriser, il suffit de remarquer que