Rudiments d'acoustique/Fiche/Logarithme décimal

Fiche mémoire sur le logarithme décimal

Le logarithme décimal est une fonction de ℝ₊^* dans ℝ₊, créé dans le but de simplifier les opérations à l’époque impitoyable ou les calculatrices n’existaient pas encore. Cette fonction soulageait les pauvres astronomes de fastidieux calculs en transformant les multiplications en additions, les divisions en soustractions, les élévations de puissance en multiplications et les extractions de racine en division.

Nous avons en effet les premières propriétés :

$\log \left(a\times b\right)=\log a+\log b$

$\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log a-\log b$

$\log \left(a^{n}\right)=n\times \log a$

$\log \left({\sqrt {a}}\right)={\frac {\log a}{2}}$

$\log \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)={\frac {\log a}{n}}$

Comme la multiplication est transformée en addition, l’élément neutre de la multiplication 1 est transformé en l’élément neutre de l’addition 0 :

$\log \left(1\right)=0$

le mot décimal de logarithme décimal vient du fait que :

$\log \left(10\right)=1$ (Pour le logarithme népérien ln(e) = 1 avec e = 2,71828182846…)

Cette dernière propriété représente un immense avantage du logarithme décimal sur les autres logarithmes (du moins à l’époque ou les calculatrices n’existaient pas encore). Cet avantage venait du fait que l’on pouvait faire plus simplement des tables pour le logarithme décimal que pour les autres logarithmes. En effet prenons un exemple.

Supposons que l’on veuille calculer le logarithme décimal de 1568,9 et de 15,689.

Nous voyons que :

$\log(1568,9)=\log(1000\times 1,5689)=\log(1000)+\log(1,5689)=\log(10^{3})+\log(1,5689)=3\log(10)+\log(1,5689)=3+\log(1,5689)$

et

$\log(15,689)=\log(10\times 1,5689)=\log(10)+\log(1,5689)=1+\log(1,5689)$

Il suffit d’avoir le logarithme décimal de 1,5689 pour avoir à la fois le logarithme décimal de 1568,9 et 15,689. Comme log(1,5689) = 0,1956, on en déduit :

$\log(1568,9)=3,1956$

$\log(15,689)=1,1956$

Nous voyons que les chiffres après la virgule dépendent uniquement des chiffres en présence dans le nombre dont on calcule le logarithme indépendamment de la position de la virgule.

Le nombre avant la virgule du résultat est égal au nombre de chiffres avant la virgule du nombre de départs moins 1.

Pour faire une table du logarithme décimal, il suffisait donc, par exemple, d’écrire toutes les parties décimales correspondant à toutes les combinaisons de 5 chiffres et le tour était joué. Pour les autres logarithmes, comme le logarithme népérien, c’était la galère.

Toutefois, comme on ne peut pas gagner sur tous les plans.

Si l’on considère la fonction définie par f(x) = log(x), on a :

$f'(x)={\frac {0,434294481903...}{x}}$

Alors que pour f(x) = ln(x), on a :

$f'(x)={\frac {1}{x}}$

C’est pour cela que lorsque les calculatrices sont devenue disponibles pour tout le monde et les tables, par conséquent, devenues inutiles, le logarithme décimal a été totalement rejeté par les mathématiciens.

Toutefois, plusieurs formules utilisaient le logarithme décimal comme la définition du PH en chimie et la définition du décibel en physique. Pour cela, on a malgré tout conservé le logarithme décimal sur les calculatrices pour continuer à calculer des PH et des décibels. (On aurait pu modifier la définition du PH et du décibel, mais les habitudes sont difficiles à changer !…)

Notons aussi que si log(a) = b et que l’on connaît seulement b, on peut retrouver a par l’opération :

$a=10^{b}$