Recherche:Une recherche sur quelques nombres premiers

La relation entre 3 et quelques certains nombres premiers

Travaux de recherche en mathématiques

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Recherche de niveau 14.

Présentation :

Bonjour , dans cette page je vais donner des explications exactes sur une relation que "j'ai découvert" entre 3 et quelques nombres premiers grands, j'espère que ça servira en quelque chose.

I ) Trois à la puissance un nombre premier et la distance entre lui et le proche nombre premier :

1) un tableau d'observation:

Ici je vais présenter mes observations. en parcourant de très grands, nombres , je ne vais afficher que les 6 derniers chiffres , vu que les autres chiffres seront identiques . (les points de suspension veut dire que le nombre des chiffres est très élevé

Nombre premier noté $p_{i}$	$3^{p_{i}}$	la distance entre $3^{p_{i}}$ et le prochain nombre premier	le prochain nombre premier	la distance entre $3^{p_{i}}$ et le dernier nombre premier avant	le dernier nombre premier avant
$2$	$3^{2}$ = 9	2	11	2	7
$3$	$3^{3}$ = 27	2	29	4	23
$5$	$3^{5}$ = 243	8	251	2	241
$7$	$3^{7}$ = 2187	16	2203	8	2179
$11$	$3^{11}$ = 117 147	16	117 163	14	117 133
$13$	$3^{13}$ = 1 594 323	8	1 594 331	22	1 594 301
$17$	$3^{17}$ = 129 140 163	34	129 140 197	4	129 140 159
$19$	$3^{19}$ = 1 162 261 467	56	1 162 261 523	14	1 162 261 453
$23$	$3^{23}$ = ...... 178 827	32	...178 859	20	...178 807
$29$	$3^{29}$ = ...... 364 883	30	...365 013	14	...364 869
$31$	$3^{31}$ = ...... 283 947	16	...283 963	4	...283 943
$37$	$3^{37}$ = ...... 997 363	50	...997 413	2	...997 361
$41$	$3^{41}$ = ...... 786 403	70	...786 473	2	...786 401
$43$	$3^{43}$ = ...... 077 627	52	...077 679	74	...077 553
$47$	$3^{47}$ = ...... 287 787	52	...287 839	46	...287 741
$53$	$3^{53}$ = ...... 796 723	26	...796 749	4	...796 719
$59$	$3^{59}$ = ...... 811 067	64	...811 131	38	...811 029
$61$	$3^{61}$ = ...... 299 603	34	...299 637	74	...299 529
$67$	$3^{67}$ = ...... 410 587	230	...410 817	298	...410 289
$71$	$3^{71}$ = ...... 257 547	20	...257 567	20	...257 527

Le tableau chez moi est étendu jusqu'à $3^{257}$ qui a une valeur approximative à 120-128 chiffres ; donc depuis maintenant je vais parler du tableau qui est chez moi .

2) Remarques:

Constat 1 :

Soit p, p' les nombres premiers (le plus grand nombre premier proche de $3^{p_{i}}$ , resp le plus petit nombre premier proche de $3^{p_{i}}$ ; et r,r' les distances entre $3^{p_{i}}$ et p (resp p')

d'après le tableau on en déduit que :

                                         p - r  $<3^{p_{i}}<$   p' + r’

Non seulement ça , mais on remarque aussi que $r<3*{p_{i}}$ où $r'<3*{p_{i}}$ ; sauf le cas de $3^{67}$ lequel r' est $<4*{67}$ et r $<5*{67}$

On va laisser r de côté maintenant , on va maintenant nous intéresser au côté droit de $3*{p_{i}}$ , et passons aux choses sérieuses.

pour tout les ${p_{i}}$ compris entre 2 et 257 - Sauf 67 - on a " L'existence d'au moins " un nombre premier P dans l'intervalle $[|3^{p_{i}}-3*{p_{i}}$ ; $3^{p_{i}}+3*{p_{i}}|]$ ainsi :

                                    | $P-3^{p_{i}}$ | <  $3*{p_{i}}$

Résultat 1 :

Quelque soit ${p_{i}}$ nombre premier , il existe au moins un nombre premier compris entre $[|3^{p_{i}}-k*{p_{i}}$ ; $3^{p_{i}}+k*{p_{i}}|]$ tel que k est un nombre entier naturel non nul , et ce k augmente de 1 a chaque fois qu'on trouve un nombre premier ${p_{i}}$ tel que : | $P-3^{p_{i}}$ | < $k*{p_{i}}$

3) Une relation entre ${p_{i}}$ et P :

Rappel :

Théorème

Le petit théorème de Fermat : « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a ^p–1 – 1 est un multiple de p. ». Autrement dit, sous les mêmes conditions sur a et p :

a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}.

Autrement dit :

a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.

La relation :

Soit P le nombre premier cité en haut tel que : $P=3^{p_{i}}+r'$ ; Soit 3 le nombre "a" sachant que quelques soit ${p_{i}}$ , 3 est premier avec ${p_{i}}$ sauf ${p_{i}}$ = 3 :

Si ${p_{i}}\neq 3$ :

Alors on applique le théorème de Fermat on trouve que :

3^{p_{i}}\equiv 3{\pmod {p_{i}}}.

<=>

P\equiv 3+r'{\pmod {p_{i}}}.

Ici on peut rien conclure , on aura 2 cas :

Si $3+r'<{p_{i}}$ :

Alors la division euclidienne s'écrit sous forme :

\exists q\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q+(3+r')

avec $0\leqslant 3+r'<{p_{i}}$

Si $3+r'>{p_{i}}$ :

Alors

\exists q'\in \mathbb {N^{*}} :3+r'={p_{i}}*q'+r''

avec $0\leqslant r''<{p_{i}}$ , donc on peut en conclure que :

\exists q''=(q+q')\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q''+r''

avec $0\leqslant r''<{p_{i}}$

Si ${p_{i}}=3$ :

On a $3^{3}=27\equiv 0{\pmod {3}}$ ; r' = 2 < 3

donc il existe un unique q tel que 29 = 3*q + 3 + 2 => 24 = 3*q = > q = 8 juste

Résultat :

Ainsi on a montré que :

Quelque soit ${p_{i}}$ nombre premier , il existe un unique nombre premier qui est le plus proche et plus grand que $3^{p_{i}}$ d'une distance unique R tel que $P=3^{p_{i}}+R$ Alors on a :

1) Si R > ${p_{i}}$ alors : $\exists !q''=(q+q')\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q''+R'$ tel que $0\leqslant R'<{p_{i}}$ et $R+3={pi}*q+R'$ .

ainsi:

P\equiv R'{\pmod {p_{i}}}

2) Si R < ${p_{i}}$ alors : $\exists !q\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q+(3+R)$ tel que $0\leqslant R+3<{p_{i}}$ .

ainsi:

P\equiv R+3{\pmod {p_{i}}}

II ) Conjecture division euclidienne entre 2 nombres premiers :

En attente de contre-exemple ou de démonstration :

$\forall p\in \mathbb {P} ;p\geqslant 5;\exists {p_{1}},{p_{2}}\in \mathbb {P} ;\exists r\in \mathbb {N^{*}} :p=({p_{1}}\times {p_{2}})+r\qquad \qquad 0\leqslant r<max({p_{1}},{p_{2}})$

III) La relation entre phi (le nombre d'or) et quelques nombres premiers :

1) Présentation :

Bonjour

Ici je vais présenter la relation entre le nombre d'or a la puissance d'un premier et quelques nombres premiers que j'ai découvert, en utilisant la partie entière d'un nombre réel et parfois l'arrondissement .

L'arrondissement d'un nombre réel est le plus proche entier naturel de lui .

La partie réel d'un nombre réel x est le plus proche entier naturel à gauche, notée E(x).

phi = φ = ${\frac {(1+\surd 5)}{2}}=1.6180339887498948$

2) Un tableau d'observation :

${p_{i}}$	phi à la puissance ${p_{i}}$	le plus proche premier à gauche	le plus proche premier à droite
2	2.6180	2	3
3	4.2360	3	5
5	11.0901	11	13
7	29.0344	29	31
11	199.0050	199	211
13	521.00191	521	523
17	3571.00028	3571	3581
19	9349.000106	9349	9371
23	64079.00001560	64067	64081
29	1149851.00000086	1149817	1149857
31	3010349.000000332	3010349	3010363
37	54018521.0000000185	54018521	54018533
41	370248451.0000000027	370248451	370248479
43	969323029.0000000010	969323023	969323099
47	6643838879.000000000133	6643838879	6643838893
53	119218851370.99999999966	119218851343	119218851371
59	2139295485798.9999999932	2139295485773	2139295485841
61	5600748293800.99999998	5600748293771	5600748293801
67	100501350283428.99999963	100501350283351	100501350283483
71	688846502588398.9999973	688846502588389	688846502588399
73	1803423556807920.9999929	1803423556807919	1803423556807967
79	32361122672259148.99986	32361122672259113	32361122672259149
83	221806434537978678.99901	221806434537978659	221806434537978743
89	3980154972736918050.98098	3980154972736917991	3980154972736918117
97	186982561199565069120.02663	186982561199565069109	186982561199565069163
101	1281597540372340914244.0533	1281597540372340914113	1281597540372340914377
103	3355265920593054081610.4532	3355265920593054081547	3355265920593054081631
107	22997334743627409910146.9418	22997334743627409910141	22997334743627409910219
109	60207804009475408399848.8049	60207804009475408399733	60207804009475408399859
113	412670427844921037468268.4325	412670427844921037468267	412670427844921037468293
127	347880681146567910616827793.65	347880681146567910616827707	347880681146567910616827859
131	2384409660666970679762805428.430	2384409660666970679762805421	2384409660666970679762805529

3) Remarques :

D'abord ce tableau est limité au nombre premier 131 , les tests entre 137 et 521 ont tous échoués dommage .

On remarque que parfois , en prenant un nombre premier ${p_{i}}$ , on obtient que $E(\varphi ^{\displaystyle {p_{i}}})$ est un nombre premier , dans le tableau on trouve 11 nombres qui réalisent la relation

Parfois aussi , en prenant un nombre premier ${p_{i}}$ , l'arrondissement de $\varphi ^{\displaystyle {p_{i}}}$ est un nombre premier , on trouve dans le tableau 15 cas .

et enfin , dans quelques cas , le nombre entier le plus proche de $\varphi ^{\displaystyle {p_{i}}}$ à droite est un nombre premier , on trouve 7 cas.

4) Conclusion:

On posant $\Phi _{p_{i}}=Arr(\varphi ^{p_{i}})$ , arr c'est l'arrondissement ,

on trouve que $\Phi _{2}$ , $\Phi _{5}$ , $\Phi _{7}$ , $\Phi _{11}$ , $\Phi _{13}$ , $\Phi _{17}$ , $\Phi _{19}$ , $\Phi _{31}$ , $\Phi _{37}$ , $\Phi _{41}$ , $\Phi _{47}$ , $\Phi _{53}$ , $\Phi _{61}$ , $\Phi _{71}$ , $\Phi _{79}$ , sont les nombre premiers qui réalisent la relation en dessus , pour ${p_{i}}$ entre 2 et 521 , en attendant quelqu'un qui continue la recherche grace a un ordinateur qui calcule de très grands nombres