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Régressions monômiales
Courbes de régression impaires
Du premier degré : droite de régression dite des moindre carrés
Autres degrés impairs : troisième : cubique de régression, etc.
Il s'agit d'approcher l'échantillon par une courbe-fonction , k étant un entier ou une fraction à numérateur impair pour EP ou pair pour EI, positif ou négatif.
Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EI ou EP à 7 données
k étant impair, les équations pour x< sont vérifiées de fait de l'imparité.
D'où :
ET enfin:
D'où par la méthode des moindres carrés :
Qui est une moyenne des deux k.
Cela nécessite, pour être possible, que et
Dans le cas contraire, considérer 9 couples ou se servir de la méthode suivante, plus approchée car ayant une contrainte en moins,pas de passage par (x_1,y_1)
Méthode avec passage par 1 point (0,0)pour EI ou EP à 7 données
D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( en Log(a) et k, 2 inconnues pour 3 équations ):
Les k seront approximés par une fraction à numérateur pair pour EP et impair pour EI au plus près de la valeur calculée. Le résidu sera traité par un monôme si possible sinon considérer la suite .
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction que le monôme. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
Les k seront approximés par une fraction à numérateur pair pour EP et impair pour EI au plus près de la valeur calculée. Le résidu sera traité par un monôme si possible sinon considérer la suite .
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 4 données en plus ou de tester un autre type de fonction que le monôme. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
Il s'agit d'approcher l'échantillon par une courbe-fonction , k étant un entier ou une fraction à numérateur impair pour EP ou pair pour EI, positif ou négatif ; a n et le k sont inconnus.
On considère que le polynôme impair, régression de EI, est de degré 2k+1 , par exemple 5.
3 inconnues d'où au minimum 2(3+1)+1 données dont
Il faut donc considérer un polynôme de degré 3 au minimum ( 2 inconnues b et c, 3 équations de y_1 à y_3) même si le résultat est une régression linéaire en x (b=0)
On considère que le pôlynôme pair, régression de EP, est de degré 2k+2par exemple 6.
3 inconnues d'où au minimum 2(3+1)+1 données dont
Il faut donc considérer un polynôme de degré 4 au minimum ( 2 inconnues b et c, 3 équations de y_1 à y_3) même si le résultat est une régression parabolique en x^2 (b=0)
Ces systèmes se résolvent par la méthode au plus près ( 4 équations , 3 inconnues ) et doivent donner des solution ssatisfaisantes. Pour k ( 2k+1 et 2k données ), il faudra 2k+1 données avec une valeur centrale.
Reprise de l'exemple précédent :
D'où :
On considère que la solution est de degré 5 maximum soit et le sytème ci-dessus devient :
Cette méthode servira aussi à considérer les régressions combinaisons linéaires de puissances de fonctions.
Sachant que toute forme , avec k impair,peut se mettre sous la forme de avec P1 pair, et que toute forme , avec k quelconque, peut se mettre sous la forme de , avec P2 impair, tout revient, en divisant les yi par le sin de leur xi, à analyser des Polynômes en cos(x).
Pour EI, k est impair, ce qui veut dire que le numérateur et le dénominateur sont impairs.
Si on se limite aux parties de k prenant les valeurs 1,3,5 par exemple on pourra avoir . il s'agira, pour se ramener à des exposant entiers de considérer le PPCM de 1,3,5 soit 15 et les transformés de y par le produit, ce qui donnera les exposants [1,3,5,9,16,19,20,25]
Pour EP, k est pair, ce qui veut dire que le numérateur et le dénominateur sont impairs.
Si on se limite aux parties de k prenant les valeurs 2,4,6 par exemple on pourra avoir . il s'agira, pour se ramener à des exposant entiers de considérer le PPCM de 2,4,6 soit 24 et les transformés des y par le produit , ce qui donnera les exposants [2,4,6,8,12,48]