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Techniques de régressions au mieux : Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires
Techniques de régressions au mieux/Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
- Courbes de régression harmoniques impaires
- Simple sinus
- Combinaison linéaire de sinus
- Courbes de régression harmoniques paires
- Simple cosinus
- Combinaison linéaire de cosinus
- Courbes somme résultantes
- Il s'agit d'approcher les échantillons EI et EP par une courbe-fonction pour EI, et une pour EP.
- Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
- sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
- D'où :
- Puis:
- ET ENFIN :
- D'où :
-
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- Pour EI on vérifie que :
- sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
- ET ENFIN :
- D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):
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Le résidu ( échantillonnage - sinusoïde calculée )sera traité par une sinusoïde si possible sinon il faudra considérer la suite.
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction impaire que la sinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
- Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
- sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
- D'où :
- Puis:
- ET ENFIN :
- D'où :
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- Pour chaque couple de EP ,on vérifie que :
- sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
- d'où :
- ET ENFIN :
- D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):
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Le résidu ( échantillonnage - valeur centrale - ( 1-cosinusoïde calculée) )sera traité par une (1-cosinusoïde ) , si possible , sinon il faudra considérer la suite.
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction paire que la 1-cosinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
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- Avec la résultante :
- A / Partie EI
- B / Partie EP
- C / Résultante
- A / Partie EI
- B / Partie EP
- C / Résultante
Les fonctions de régression au plus près à trouver sont de la forme :
- et
- avec pour EI on cherchera sin et k impair, pour EP on cherchera sin et k pair ou cos et k quelconque
- k peut être une fraction irréductible . k conduit à l'imparité si le num et le dén sont impairs.
Après transformation le passage de a du côté des y et par les Logarithmes des deux membres, on obtient par exemple:
- Pour EI 3points :
Ce qui se résout comme le premier point du 1
- Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.
- Pour EP 3 points
Ce qui se résout comme le troisième point du 1
- Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.
Le théorême général appliqué à une somme d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:
RAPP de la Somme d' harmoniques = Somme des RAPP de chaque harmonique
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- Exemple :
- D'où 11 inconnues à déterminer d'où au minimum 1 valeur centrale + 10 valeurs + 2 minimum soit 13 valeurs au moins pour l'échantillon pour déterminer l'au plus près de l'échantillon.
Le théorême général appliqué à un produit d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:
RAPP d'un Produit d' harmoniques = Produit des RAPP de chaque harmonique
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- A PLACER
- La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :
Théorême général :
- La forme la plus générale d'une fonction F de x, par l'intermédiaire des , est :
- F = ( somme de produit de fonctions___OU__ produit de sommes de fonctions_ )
- avec de la forme de F.
Exemples :
A PLACER :
- La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :