Recherche:Techniques de régressions au mieux/Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Recherche : Techniques de régressions au mieux
Chap. préc. :Régressions monômiales et polynômiales
Chap. suiv. :Régressions de type hyperbolique simple et combinatoires
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Techniques de régressions au mieux : Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires
Techniques de régressions au mieux/Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Courbes de régression harmoniques impaires
  • Simple sinus
  • Combinaison linéaire de sinus
Courbes de régression harmoniques paires
  • Simple cosinus
  • Combinaison linéaire de cosinus
Courbes somme résultantes

Harmoniques simples au plus près pour 7 données[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit d'approcher les échantillons EI et EP par une courbe-fonction pour EI, et une pour EP.

Analyse de la partie impaire EI[modifier | modifier le wikicode]

Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EP à 7 données[modifier | modifier le wikicode]
Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
D'où :
Puis:
ET ENFIN :
D'où :



Méthode avec passage par un point y(0)pour EI à 7 données[modifier | modifier le wikicode]

Pour EI on vérifie que :
sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
ET ENFIN :
D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):



Le résidu ( échantillonnage - sinusoïde calculée )sera traité par une sinusoïde si possible sinon il faudra considérer la suite.

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction impaire que la sinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Analyse de la partie paire EP[modifier | modifier le wikicode]

Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EP à 7 données[modifier | modifier le wikicode]

Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
D'où :
Puis:
ET ENFIN :
D'où :



Méthode avec passage par un point y(0)pour EP à 7 données[modifier | modifier le wikicode]

Pour chaque couple de EP ,on vérifie que :
sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
d'où :
ET ENFIN :
D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):



Le résidu ( échantillonnage - valeur centrale - ( 1-cosinusoïde calculée) )sera traité par une (1-cosinusoïde ) , si possible , sinon il faudra considérer la suite.

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction paire que la 1-cosinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Exemple d'application au hasard pour modèle de traitement[modifier | modifier le wikicode]

Avec la résultante :

Sur 3 points communs sur 7[modifier | modifier le wikicode]

A / Partie EI
B / Partie EP
C / Résultante

Sur 1 point commun sur 7[modifier | modifier le wikicode]

A / Partie EI
B / Partie EP
C / Résultante

Bilan[modifier | modifier le wikicode]

Harmoniques simples au plus près pour 11 données[modifier | modifier le wikicode]

Harmoniques multiples au plus près[modifier | modifier le wikicode]

Les fonctions de régression au plus près à trouver sont de la forme :

et
avec pour EI on cherchera sin et k impair, pour EP on cherchera sin et k pair ou cos et k quelconque
k peut être une fraction irréductible . k conduit à l'imparité si le num et le dén sont impairs.

Après transformation le passage de a du côté des y et par les Logarithmes des deux membres, on obtient par exemple:

Pour EI 3points :

Ce qui se résout comme le premier point du 1

Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.
Pour EP 3 points

Ce qui se résout comme le troisième point du 1

Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.

Harmoniques combinatoires[modifier | modifier le wikicode]

Somme d'harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Le théorême général appliqué à une somme d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:

RAPP de la Somme d' harmoniques = Somme des RAPP de chaque harmonique


Exemple :
D'où 11 inconnues à déterminer d'où au minimum 1 valeur centrale + 10 valeurs + 2 minimum soit 13 valeurs au moins pour l'échantillon pour déterminer l'au plus près de l'échantillon.

Produit d'harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Le théorême général appliqué à un produit d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:

RAPP d'un Produit d' harmoniques = Produit des RAPP de chaque harmonique


A PLACER

Système régressif au mieux[modifier | modifier le wikicode]

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

Combinaison de sommes, produit et puissances[modifier | modifier le wikicode]

Théorême général :

La forme la plus générale d'une fonction F de x, par l'intermédiaire des , est :
F = ( somme de produit de fonctions___OU__ produit de sommes de fonctions_ )
avec de la forme de F.

RAPP(F) = F(RAPP)


Exemples :


A PLACER :

Système régressif au mieux[modifier | modifier le wikicode]

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :