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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions : Premier petit système non linéaire à 4 équations Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Premier petit système non linéaire à 4 équations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
{
y
1
=
k
1
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
=
k
2
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
=
k
3
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
y
4
=
k
4
×
sin
2
n
+
1
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k_{1}\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2=k_{2}\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3=k_{3}\times \sin ^{2n+1}(3w)\\y4=k_{4}\times \sin ^{2n+1}(4w)\\\end{cases}}}
{
y
1
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin(1w)\\y2=k\times \sin(2w)\\y3=k\times \sin(3w)\\y4=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
Introduire d d'où les nouveaux systèmes suivant à résoudre :
A
{
y
1
+
d
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
d
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
−
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d=k\times \sin(1w)\\y2-d=k\times \sin(2w)\\y3+d=k\times \sin(3w)\\y4-d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
1
+
d
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
d
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
−
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d=k\times \sin(1w)\\y2+d=k\times \sin(2w)\\y3-d=k\times \sin(3w)\\y4-d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
1
+
d
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
+
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d=k\times \sin(1w)\\y2-d=k\times \sin(2w)\\y3-d=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
Introduire d1 et d2 d'où les nouveaux systèmes suivant à résoudre :
A
{
y
1
+
d
1
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
1
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
d
2
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
−
d
2
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d1=k\times \sin(1w)\\y2-d1=k\times \sin(2w)\\y3+d2=k\times \sin(3w)\\y4-d2=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
1
+
d
1
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
d
2
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
1
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
−
d
2
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d1=k\times \sin(1w)\\y2+d2=k\times \sin(2w)\\y3-d1=k\times \sin(3w)\\y4-d2=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
1
−
d
1
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
d
2
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
2
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
−
d
1
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d1=k\times \sin(1w)\\y2+d2=k\times \sin(2w)\\y3-d2=k\times \sin(3w)\\y4-d1=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
Introduire
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
+
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
Adjoindre la condition de minimalisation ( D ) de la somme des carrés des écarts afin d'obtenir la solution au plus près :
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
(
A
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
(
B
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
(
C
)
y
4
+
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
(
D
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)&(A)\\y2+b=k\times \sin(2w)&(B)\\y3+c=k\times \sin(3w)&(C)\\y4+d=k\times \sin(4w)&(D)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
Eliminer k :
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
4
c
o
s
(
w
)
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
(
3
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
À partir de là, plusieurs méthodes de résolution sont possibles :
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
4
c
o
s
(
w
)
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
(
3
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
{
C
=
c
o
s
(
w
)
b
=
2
C
(
y
1
+
a
)
−
y
2
(
A
1
)
c
=
−
1
+
4
C
2
−
y
3
(
A
2
)
d
=
4
C
(
2
C
2
−
1
)
−
y
4
(
A
3
)
a
+
b
∂
b
∂
a
+
c
∂
c
∂
a
+
d
∂
d
∂
a
=
0
(
A
4
a
)
b
∂
b
∂
C
+
c
∂
c
∂
C
+
d
∂
d
∂
C
=
0
(
A
4
a
)
{\displaystyle {\begin{cases}C=cos(w)\\b=2C(y1+a)-y2&(A1)\\c=-1+4C^{2}-y3&(A2)\\d=4C\left(2C^{2}-1\right)-y4&(A3)\\a+b{\frac {\partial {b}}{\partial {a}}}+c{\frac {\partial {c}}{\partial {a}}}+d{\frac {\partial {d}}{\partial {a}}}=0&(A4a)\\b{\frac {\partial {b}}{\partial {C}}}+c{\frac {\partial {c}}{\partial {C}}}+d{\frac {\partial {d}}{\partial {C}}}=0&(A4a)\end{cases}}}
La condition se calcule en exprimant
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
D
D
{\displaystyle DD}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
(
3
)
∂
D
D
∂
a
=
0
(
4
a
)
∂
D
D
∂
b
=
0
(
4
b
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=2cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\{\frac {\partial {DD}}{\partial {a}}}=0&(4a)\\{\frac {\partial {DD}}{\partial {b}}}=0&(4b)\\\end{cases}}}
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
(
y
2
+
b
y
1
+
a
)
2
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
y
2
+
b
y
1
+
a
×
(
1
2
(
y
2
+
b
y
1
+
a
)
2
−
1
)
(
3
)
a
+
c
∂
c
∂
a
+
d
∂
d
∂
a
=
0
(
4
a
)
b
+
c
∂
c
∂
b
+
d
∂
d
∂
b
=
0
(
4
a
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+\left({\frac {y2+b}{y1+a}}\right)^{2}&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}={\frac {y2+b}{y1+a}}\times \left({\frac {1}{2}}\left({\frac {y2+b}{y1+a}}\right)^{2}-1\right)&(3)\\a+c{\frac {\partial {c}}{\partial {a}}}+d{\frac {\partial {d}}{\partial {a}}}=0&(4a)\\b+c{\frac {\partial {c}}{\partial {b}}}+d{\frac {\partial {d}}{\partial {b}}}=0&(4a)\\\end{cases}}}
