Recherche:Conjecture de Syracuse et indécidabilité

Conjecture de Syracuse et indécidabilité

Travaux de recherche en mathématiques

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Introduction

La conjecture de Syracuse est un problème de mathématiques formulé en 1937 par le Pr Collatz qui consiste à déterminer si il est toujours vrai qu'en divisant un entier par 2 si il est pair, ou bien en le multipliant par 3 puis en lui ajoutant 1 si il est impair et en réitérant cette opération sur l'entier ainsi obtenu, on finit toujours par atterrir sur le cycle 4, 2, 1, 4, … Cette suite et ce type de cycles présentent un comportement de transition vers le chaos . On montre ici à l’aide d’un argument incompréhensible et abscons et non référencé sur des équations polynomiales de degré infini qu'on ne peut prouver qu'il existe d'autres cycles, à part par un contre-exemple numérique, autrement formulé, que la conjecture est indécidable .

Reformulation du problème

Au lieu d'écrire

$v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/2&{\text{ si }}v_{n}{\text{ est pair}}\\3v_{n}+1&{\text{ si }}v_{n}{\text{ est impair}}\end{cases}}$

on écrit plutôt synthétiquement la relation de récurrence non linéaire

$v_{n+1}=\varphi {(v_{n})}=2^{-(1+(-1)^{v_{n}})/2}(3^{(1+(-1)^{1+v_{n}})/2}v_{n}+{(1+(-1)^{1+v_{n}})/2})$

Par exemple,

$17=\varphi {(34)}=2^{-(1+(-1)^{34})/2}(3^{(1+(-1)^{1+34})/2}*34+{(1+(-1)^{1+34})/2})$

(En référence au vol de valeur 11.)

Et pour traduire la condition d’un cycle de longueur quelconque, on pose l’équation :

$\varphi {(\varphi {(...\varphi {(v_{n})}...)})}=v_{n}$ (1)

or comme $\varphi {}$ est une fonction, le membre de gauche est aussi une fonction, qui admet donc un développement en série de Taylor , i.e. c’est une équation polynomiale de degré infini. Or les mathématiciens Galois et Abel ont démontré qu’il n’existait pas de méthode générale de résolution de ce type d’équations lorsqu’on dépasse le degré 5 . Par conséquent, on ne peut pas résoudre une infinité d’équations polynomiales de degrés élevés pour vérifier théoriquement que l’équation (1) n’a pas de solution quand on fixe le nombre d’itérations φ. La conjecture est donc indécidable, Q.E.D.