En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Rédaction mathématique : Inéquations Rédaction mathématique/Inéquations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le vocabulaire des inéquations est presque le même que celui des équations :
Inéquation à une inconnue
* Une inéquation est une inégalité mathématique entre des nombres, dont certains ne sont pas connus. Par exemple, l'inéquation (I) établit une inégalité entre 4 et « 3x + 1 », qu'on ne connaît pas.
Le nombre qu'on ne connaît pas est noté avec une lettre, souvent x. x s’appelle l'inconnue de l'inéquation (I).
Résoudre l'inéquation (I), c’est trouver tous les x pour lesquels l'inégalité fonctionne.
L'ensemble de tous les x solutions de (I) est appelé ensemble des solutions de (I).
L'ensemble dans lequel on doit chercher les solutions de (I), donné par l'énoncé, s’appelle le cadre de travail.
La manipulation des inéquations est déjà connue. Là encore, on cherche à écrire des liens logiques entre les équations. Comme dans le cas des équations, on utilisera le mot de liaison ssi.
La rédaction-type de la résolution d'une inéquation est exactement la même que pour une équation :
Cadre de travail
Preuve à l'aide de « ssi »
Conclusion mise en valeur
Début d’un principe
Rédaction-type
Résoudre l'inéquation d'inconnue x.
Soit
Finalement, l’ensemble des solutions de l'inéquation (I) est .
* Lorsqu'on multiplie ou divise les deux termes d'une inégalité par un terme strictement positif, le sens de l'inégalité est conservé.
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux termes d'une inégalité par un terme strictement négatif, le sens de l'inégalité est inversé.
Fin du théorème
Cette conséquence peut aboutir à une distinction de cas lors de la résolution d'une inéquation.
Début de l'exemple
Exemple
Résoudre l'inéquation d'inconnue x.
Soit
Là, pour poursuivre la résolution, on a bien envie de simplifier par (x+3). Seulement : quel est le signe de x+3 ? Il peut être
strictement positif ssi
strictement négatif ssi
nul ssi
Faisons donc 3 cas :
Premier cas :
Ce premier cas aboutit à , donc l’ensemble des solutions de ce premier cas est
Second cas :
Ce second cas aboutit à , ce qui est impossible.
Troisième cas :
Donc -3 est solution de
Comme les trois cas recouvrent tous les cas possibles, on n'a pas oublié de solutions potentielles.
Finalement, l’ensemble des solutions de est
Fin de l'exemple
Début d’un principe
Éviter la division par un terme non constant
On s'aperçoit que cette rédaction est longue à mettre en œuvre. Au lieu de vouloir simplifier, ce qui nécessite une étude de signe pour savoir s'il faut changer ou non le signe de l'égalité, on choisit de mettre tous les termes du même côté et de factoriser, comme pour les égalités.
La résolution de l'inéquation se fait alors grâce au dressement d'un tableau de signes.
Pour résoudre une inéquation, on ne peut parfois pas se contenter des opérations élémentaires +, -, ×... Il faut parfois avoir recours à des fonctions comme la racine carrée... On s'intéresse alors au passage d'une inégalité de la forme a ≤ b à une inégalité comparant ƒ(a) et ƒ(b). On ne peut cependant appliquer une fonction à une inégalité que sous certaines conditions.
Premièrement, il faut que la fonction soit définie pour les deux membres de l'inégalité.
Il est impensable de vouloir appliquer directement la fonction racine carrée à l'inégalité
Il est également indispensable que ƒ soit monotone entre a et b
Si ƒ est croissante entre a et b, le sens de l'inégalité est conservé.
Si ƒ est décroissante entre a et b, le sens de l'inégalité est inversé.
Les arguments de monotonie de ƒ et de définition doivent apparaître dans la rédaction.
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemple où la monotonie n’est pas respectée
On cherche à résoudre l'inéquation sur
Si on prend brutalement les racines carrées des deux termes sans faire plus attention, on aboutit à .
Or, tous les réels de l'intervalle sont également solution !
Il faut donc veiller à la monotonie de la fonction sur les intervalles de travail.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
Soit car la fonction racine carrée est croissante sur [0;1].
L'ensemble des solutions de I₂ est alors [0;1]
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
On aimerait bien prendre la racine carrée. Mais pour ce faire, il faut se placer sur des intervalles où la fonction racine carrée est monotone. On sait que la fonction racine carrée est :
décroissante sur
croissante sur
Premier temps : Soit car la fonction racine carrée est croissante sur , donc sur [0;1].
L'ensemble des solutions de I₃ appartenant à est alors [0;1].
Deuxième temps : Soit car la fonction racine carrée est décroissante sur , donc sur [-1;0].
L'ensemble des solutions de I₃ appartenant à est alors [-1;0].