Réciproque du théorème de Pythagore/Démontrer qu'un triangle est rectangle
Introduction
[modifier | modifier le wikicode]Qu'est-ce qu'une réciproque ?
1) On considère la propriété : "Si B est le milieu de [AC], alors AB = BC.
La propriété réciproque est : "Si AB = BC, alors B est le milieu de [AC].
La propriété est VRAIE ; en revanche, sa réciproque est FAUSSE (B appartient à la médiatrice de [AC]).
--> Cette propriété n'admet donc pas de réciproque.
2) La propriété du théorème de Pythagore est la suivante :
"Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."
Sa propriété réciproque serait :
"Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle."
On admettra que cette réciproque est vraie.
Réciproque du théorème de Pythagore
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Réciproque du théorème de Pythagore
- Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
- Autrement dit, si dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
Application
[modifier | modifier le wikicode]Énoncé : Le triangle MNP est tel que MN = 73 cm, NP = 55 cm et PM = 48 cm. Démontrer que le triangle MNP est rectangle.
Méthode : (pour prouver qu'un triangle est rectangle)
- On repère le côté du triangle qui pourrait être l'hypoténuse.
- On calcule le carré du plus grand côté.
- On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
- On écrit l'égalité obtenue.
- On cite la propriété utilisée ("d'après la réciproque du théorème de Pythagore...")
- On écrit la conclusion ("le triangle est rectangle en...")
Remarque : On peut tracer une figure en grandeur réelle ou à main levée afin de mieux visualiser le problème.
Le plus grand côté est [MN]. Donc, si ce triangle est rectangle, alors il le sera en P.
- D'une part, MN² = 73² = 5329.
- D'autre part, PM² + PN² = 48² + 55² = 5329.
On a donc : MN² = PM² + PN².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P.
