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Réciproque du théorème de Pythagore/Démontrer qu'un triangle est rectangle

Leçons de niveau 9
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Démontrer qu'un triangle est rectangle
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Chapitre no 1
Leçon : Réciproque du théorème de Pythagore
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Chap. suiv. :Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Qu'est-ce qu'une réciproque ?

1) On considère la propriété : "Si B est le milieu de [AC], alors AB = BC.

La propriété réciproque est : "Si AB = BC, alors B est le milieu de [AC].

La propriété est VRAIE ; en revanche, sa réciproque est FAUSSE (B appartient à la médiatrice de [AC]).

--> Cette propriété n'admet donc pas de réciproque.

2) La propriété du théorème de Pythagore est la suivante :

"Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."

Sa propriété réciproque serait :

"Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle."

On admettra que cette réciproque est vraie.

Réciproque du théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

Application[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé : Le triangle MNP est tel que MN = 73 cm, NP = 55 cm et PM = 48 cm. Démontrer que le triangle MNP est rectangle.

Méthode : (pour prouver qu'un triangle est rectangle)

  • On repère le côté du triangle qui pourrait être l'hypoténuse.
  • On calcule le carré du plus grand côté.
  • On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
  • On écrit l'égalité obtenue.
  • On cite la propriété utilisée ("d'après la réciproque du théorème de Pythagore...")
  • On écrit la conclusion ("le triangle est rectangle en...")

Remarque : On peut tracer une figure en grandeur réelle ou à main levée afin de mieux visualiser le problème.