Puissance électrique en courant alternatif sinusoïdal monophasé/Exercices/Puissance en régime sinusoïdal

Adaptation d'impédance

1. Rappeler la condition d'adaptation d'impédance.
2. Pour réaliser une adaptation d'impédance, on intercale entre le générateur (e_g, R_g) et l’utilisation (résistance R_u, un réseau quadripôle réalisé avec une capacité C et une inductance L. Calculer L et C en fonction de R_u, R_g et la pulsation du signal ω. À quelle condition sur R_u et R_g cette adaptation est-elle possible ?

Solution

$C={\frac {1}{\omega {\sqrt {R_{g}(R_{u}-R_{g})}}}}$ et $L={\frac {R_{u}}{\omega }}{\sqrt {\frac {R_{g}}{R_{u}-R_{g}}}}$

 

Correction

On considère le circuit équivalent :

1. Pour réaliser l'adaptation d'impédance, il faut que ${\underline {Z_{u}}}={\underline {\bar {Z_{g}}}}$ Donc en posant Z_u=R_u+S_u j il faut que S_u=0 et R_u=R_g.

2. Et

${\begin{aligned}Z&={\frac {1}{{\frac {1}{L\omega j}}+{\frac {1}{R_{u}}}}}-{\frac {1}{C\omega }}j\\&={\frac {R_{u}L\omega }{R_{u}+L\omega }}j-{\frac {1}{C\omega }}j\\&={\frac {(R_{u}L\omega j)(R_{u}-L\omega j)}{R_{u}^{2}+(L\omega )^{2}}}-{\frac {1}{C\omega }}j\\&={\frac {R_{u}^{2}L\omega j+R_{u}L^{2}\omega ^{2}}{R_{u}^{2}+(L\omega )^{2}}}-{\frac {1}{C\omega }}j\end{aligned}}$

Et donc il faut que :
${\frac {R_{u}L^{2}\omega ^{2}}{R_{u}^{2}+(L\omega )^{2}}}=R_{g}$
$\Leftrightarrow L^{2}\omega (R_{u}-R_{g})=R_{u}^{2}R_{g}$
$\Leftrightarrow L={\frac {R_{u}}{\omega }}{\sqrt {\frac {R_{g}}{R_{u}-R_{g}}}}$